빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

한 점에서 연속인 조건(함숫값=극한값)을 확인하고 불연속인 곳을 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 1.6절 · 12번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 함수 f(x)=x3+x2+x+1f(x)=x^3+x^2+x+1 이 정의역에서 값 12345를 적어도 한 번 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Use the Intermediate Value Theorem to show that the function f(x)=x3+x2+x+1f(x)=x^3+x^2+x+1 takes on the value 12345 at least once in its domain.

정답·풀이 보기

ff 는 다항식이므로 모든 실수에서 연속이다. f(0)=1<12345f(0)=1<12345 이고 f(12345)=123453+123452+12345+1>12345f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345 이다(모든 항이 양수이므로). 따라서 사잇값 정리에 의해 00 과 1234512345 사이의 어떤 cc 에 대해 f(c)=12345f(c)=12345 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ff is a polynomial, it is continuous over all real numbers. f(0)=1<12345f(0)=1<12345 and f(12345)=123453+123452+12345+1>12345f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345 (since all terms are positive). So by the IVT, f(c)=12345f(c)=12345 for some cc between 00 and 1234512345.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 13번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
2.CLP-1 · 1.6절 · 17번우리말 번역

다음 함수가 x=cx=c 에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={8−cx일 때x≤cx2일 때x>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{일 때} & x\le c\\ x^2 & \text{일 때} & x> c \end{array}\right. 연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous at x=cx=c: f(x)={8−cxifx≤cx2ifx>cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x> c \end{array}\right. Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 이 함수는 x≠cx\ne c 에서 연속이다. 따라서 문제는 x=cx=c 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x)\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x) 이어야 한다. 계산하면 lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 이고f(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ 이고} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. 따라서 8−c2=c28-c^2=c^2 이어야 하고, 이로부터 c2=4c^2=4, 즉 c=−2c=-2 또는 c=2c=2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c; for this we need lim⁡x→c−f(x)=f(c)=lim⁡x→c+f(x).\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x). We compute lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c−8−cx=8−c2;\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2; f(c)=8−c⋅c=8−c2 andf(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ and} lim⁡x→c+f(x)=lim⁡x→c+x2=c2.\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2. So, we need 8−c2=c28-c^2=c^2, which yields c2=4c^2=4, i.e. c=−2c=-2 or c=2c=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 18번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
3.CLP-1 · 1.6절 · 18번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요:

f(x)={x2+cx≥0cos⁡cxx<0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}

연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous everywhere:

f(x)={x2+cx≥0cos⁡cxx<0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}

Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

x2+cx^2+c 와 cos⁡cx\cos cx 가 모든 점에서 연속이므로 이 함수는 x≠0x \ne 0 에서 연속이다. 이제 x=0x=0 에서의 연속성을 확인해야 한다. 이를 위해 다음 세 값이 같음을 확인해야 한다.

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+c=cf(0)=clim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−cos⁡cx=cos⁡0=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}

그러므로 c=1c=1 일 때 극한값들이 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠0x \ne 0 since x2+cx^2+c and cos⁡cx\cos cx are continuous everywhere. It remains to check continuity at x=0x=0. To do this we must check that the following three are equal.

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+c=cf(0)=clim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−cos⁡cx=cos⁡0=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}

Hence when c=1c=1 we have the limits agree.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
4.CLP-1 · 1.6절 · 19번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 cc 의 값을 모두 구하세요: f(x)={x2−4(x<c 일 때)3x(x≥c 일 때) .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{(}x< c\text{ 일 때)}\\ 3x & \text{(}x \ge c\text{ 일 때)}\,.\end{cases} 연속의 정의를 이용하여 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous: f(x)={x2−4if x<c3xif x≥c .f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x< c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간에서 함수는 각각 다항식으로 정의되므로 x≠cx\ne c 에서 함수는 연속이다. 따라서 문제가 되는 것은 x=cx=c 에서 함수가 연속인지 여부뿐이다. 또한 lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 이고 lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c \lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\, 이다. 연속이려면 두 극한과 함숫값이 모두 일치해야 하므로, ff 가 연속일 필요충분조건은 c2−4=3cc^2-4 = 3c 이다. 즉 필요충분조건은 c2−3c−4=0 c^2-3c-4 = 0\, 이다. 이를 (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 으로 인수분해하면 c=−1c=-1 또는 c=+4c=+4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠cx\ne c since each of those two branches are defined by polynomials. Thus, the only question is whether the function is continuous at x=cx=c. Furthermore, lim⁡x→c−f(x)=c2−4\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4 and lim⁡x→c+f(x)=f(c)=3c .\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,. For continunity we need both limits and the value to agree, so ff is continuous if and only if c2−4=3cc^2-4 = 3c, that is if and only if c2−3c−4=0 .c^2-3c-4 = 0\,. Factoring this as (c−4)(c+1)=0(c-4)(c+1) = 0 yields c=−1c=-1 or c=+4c=+4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류
5.CLP-1 · 1.6절 · 20번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 cc 의 모든 값을 구하세요. f(x)={6−cx일 때x≤2cx2일 때x>2cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{일 때} & x\le 2c\\ x^2 & \text{일 때} & x> 2c \end{array}\right.연속의 정의를 이용하여 답을 근거와 함께 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of cc such that the following function is continuous: f(x)={6−cxifx≤2cx2ifx>2cf(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x> 2c \end{array}\right.Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 함수는 x≠2cx\ne 2c 에서 연속이다. 따라서 남은 문제는 함수가 x=2cx=2c 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 lim⁡x→2c−f(x)=f(2c)=lim⁡x→2c+f(x)\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x) 이어야 한다. 각각 계산하면 lim⁡x→2c−f(x)=lim⁡x→2c−6−cx=6−2c2;\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2; f(2c)=6−c⋅2c=6−2c2이고f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{이고} lim⁡x→2c+f(x)=lim⁡x→2c+x2=4c2\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2 이다. 따라서 6−2c2=4c26-2c^2=4c^2 이어야 하므로 c2=1c^2=1, 즉 c=−1c=-1 또는 c=1c=1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for x≠2cx\ne 2c since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at x=2cx=2c; for this we need lim⁡x→2c−f(x)=f(2c)=lim⁡x→2c+f(x).\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x). We compute lim⁡x→2c−f(x)=lim⁡x→2c−6−cx=6−2c2;\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2; f(2c)=6−c⋅2c=6−2c2 andf(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{ and} lim⁡x→2c+f(x)=lim⁡x→2c+x2=4c2.\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2. So, we need 6−2c2=4c26-2c^2=4c^2, which yields c2=1c^2=1, i.e. c=−1c=-1 or c=1c=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 23번
# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류