함수의 연속 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

# 함수의 연속계산보통

2.OpenStax 1권 · 2.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에서 정의되어 있다고 해요. 각 설명에 맞는 성질을 가진 그래프를 그리세요.

$x=1$ 에서 불연속이고 $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ , $\lim_{x\to 2}f(x)=4$ 인 함수

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=1$ with $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ and $\lim_{x\to 2}f(x)=4$

풀이 보기

$x=1$ 에서만 일부러 끊어 놓고 나머지는 두 극한 조건을 만족하는 선으로 이으면 돼요.

1
조건을 정리해요. 세 가지가 필요해요. ① $x=1$ 에서 끊어질 것, ② $x=-1$ 근처에서 $y$ 가 $-1$ 에 가까울 것, ③ $x=2$ 근처에서 $y$ 가 $4$ 에 가까울 것.
2
쉬운 식을 골라요. $x<1$ 에서는 $f(x)=x$ 로 놓으면 $x\to-1$ 일 때 $-1$ 이에요. $x\ge1$ 에서는 $f(x)=x+2$ 로 놓으면 $x\to2$ 일 때 $4$ 예요.
3
$x=1$ 에서 끊어졌는지 확인해요. 왼쪽 극한은 $1$ , 오른쪽 극한은 $1+2=3$ 이에요. 극한이 서로 달라 $x=1$ 에서 불연속(점프)이에요. 그래프는 점 $(1,1)$ 까지 오는 선과 점 $(1,3)$ 에서 시작하는 선으로 그려요.

답

예시 답: $f(x)=\begin{cases}x,&x<1\\x+2,&x\ge1\end{cases}$ (정답은 여러 가지예요)

자주 하는 실수

그래프를 한 번에 이어서 그려 $x=1$ 에서 끊기지 않게 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

The graph of a piecewise function with two parts. The first part is an increasing curve that exists for x < 1. It ends at (1,1). The second part is an increasing line that exists for x > 1. It begins at (1,3).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번

# 함수의 연속그래프·표 해석보통

3.OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번우리말 풀이

힘을 $R$ 에서 $0$ 으로 만드는 대신, $r\ge R$ 에서 힘이 $10^{-20}$ 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 $1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}$ , 쿨롱 상수는 $k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2$ 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 $R$ 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

영어 원문 보기

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10⁻²⁰ for $r\ge R.$ Assume two protons, which have a magnitude of charge $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{C},$ and the Coulomb constant ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}.$ Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

답 쓰고 채점

m

풀이 보기

경계 $r=R$ 에서 쿨롱 힘 $\dfrac{k_eq^2}{R^2}$ 이 주어진 값 $10^{-20}$ 과 같아야 연속이에요.

1
조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 $F=\dfrac{k_eq^2}{r^2}$ 이에요. $r=R$ 에서 이 힘이 $10^{-20}$ 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

$\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}$
2
$R^2$ 에 대해 풀어요. $R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}}$ 이에요.
3
값을 넣어 계산해요. $q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38}$ 이고 $k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28}$ 이므로

$R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}$
4
제곱근을 취해요. $R>0$ 이므로 $R=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m}$ 예요.

답

있어요. $R\approx0.0001519\,\text{m}$

자주 하는 실수

단위와 지수를 잘못 계산해요. 특히 $q^2$ 에서 $10^{-19}$ 도 함께 제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$R=0.0001519\,\text{m}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 3번

# 함수의 연속활용보통

4.CLP-1 · 1.6절 · 12번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 함수 $f(x)=x^3+x^2+x+1$ 이 정의역에서 값 12345를 적어도 한 번 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Use the Intermediate Value Theorem to show that the function $f(x)=x^3+x^2+x+1$ takes on the value 12345 at least once in its domain.

정답·풀이 보기

$f$ 는 다항식이므로 모든 실수에서 연속이다. $f(0)=1<12345$ 이고 $f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345$ 이다(모든 항이 양수이므로). 따라서 사잇값 정리에 의해 $0$ 과 $12345$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=12345$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f$ is a polynomial, it is continuous over all real numbers. $f(0)=1<12345$ and $f(12345)=12345^3+12345^2+12345+1>12345$ (since all terms are positive). So by the IVT, $f(c)=12345$ for some $c$ between $0$ and $12345$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 13번

# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류

5.CLP-1 · 1.6절 · 13번우리말 번역

함수가 연속인 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which the function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 유리함수이므로 분모가 0인 경우를 제외하고 연속이다. 즉, $x=1$ 과 $x=-1$ 을 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)$ is a rational function and so is continuous except when its denominator is zero. That is, except when $x=1$ and $x=-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 14번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

6.CLP-1 · 1.6절 · 14번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ .

정답·풀이 보기

이 함수는 $x^2-1> 0$ , 즉 $(x-1)(x+1)> 0$ 일 때 연속이며, 이를 풀면 구간 $(-\infty, -1)\cup (1,+\infty)$ 를 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when $x^2-1> 0$ , i.e. $(x-1)(x+1)> 0$ , which yields the intervals $(-\infty, -1)\cup (1,+\infty)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 15번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

7.CLP-1 · 1.6절 · 15번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

정답·풀이 보기

함수 $1/\sqrt{x}$ 는 $(0,+\infty)$ 에서 연속이고 함수 $\cos(x) + 1$ 은 모든 점에서 연속이다.

따라서 $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ 은 $\cos x=-1$ 인 점을 제외하고 연속이다. 이것은 $x$ 가 $\pi$ 의 홀수 배일 때 일어난다. 그러므로 이 함수는 $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ 를 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $1/\sqrt{x}$ is continuous on $(0,+\infty)$ and the function $\cos(x) + 1$ is continuous everywhere.

So $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ is continuous except when $\cos x=-1$ . This happens when $x$ is an odd multiple of $\pi$ . Hence the function is continuous except at $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

8.CLP-1 · 1.6절 · 16번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

정답·풀이 보기

이 함수는 $\sin(x)\neq 0$ 일 때 연속이다. 즉, $x$ 가 $\pi$ 의 정수 배가 아닐 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when $\sin(x)\neq 0$ . That is, when $x$ is not an integer multiple of $\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 17번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

9.CLP-1 · 1.6절 · 17번우리말 번역

다음 함수가 $x=c$ 에서 연속이 되도록 하는 $c$ 의 값을 모두 구하세요: $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{일 때} & x\le c\\ x^2 & \text{일 때} & x> c \end{array}\right.$ 연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous at $x=c$ : $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x> c \end{array}\right.$ Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 이 함수는 $x\ne c$ 에서 연속이다. 따라서 문제는 $x=c$ 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 $\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x)$ 이어야 한다. 계산하면 $\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2;$ $f(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ 이고}$ $\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2.$ 따라서 $8-c^2=c^2$ 이어야 하고, 이로부터 $c^2=4$ , 즉 $c=-2$ 또는 $c=2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x\ne c$ since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at $x=c$ ; for this we need $\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)=\lim_{x\to c+}f(x).$ We compute $\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^-}8-cx = 8-c^2;$ $f(c)=8-c\cdot c= 8-c^2\text{ and}$ $\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^+}x^2=c^2.$ So, we need $8-c^2=c^2$ , which yields $c^2=4$ , i.e. $c=-2$ or $c=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 18번

# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류

10.CLP-1 · 1.6절 · 18번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 연속이 되도록 하는 $c$ 의 값을 모두 구하세요:

$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}$

연속의 정의를 이용하여 답을 정당화하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous everywhere:

$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+c & x\geq 0\\ \cos cx & x< 0 \end{cases} \end{aligned}$

Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x^2+c$ 와 $\cos cx$ 가 모든 점에서 연속이므로 이 함수는 $x \ne 0$ 에서 연속이다. 이제 $x=0$ 에서의 연속성을 확인해야 한다. 이를 위해 다음 세 값이 같음을 확인해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}$

그러므로 $c=1$ 일 때 극한값들이 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x \ne 0$ since $x^2+c$ and $\cos cx$ are continuous everywhere. It remains to check continuity at $x=0$ . To do this we must check that the following three are equal.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x\to 0^+} x^2+c = c\\ f(0) &= c \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \cos cx = \cos 0 = 1 \end{aligned}$

Hence when $c=1$ we have the limits agree.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번

# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류

11.CLP-1 · 1.6절 · 19번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 $c$ 의 값을 모두 구하세요: $f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{(}x< c\text{ 일 때)}\\ 3x & \text{(}x \ge c\text{ 일 때)}\,.\end{cases}$ 연속의 정의를 이용하여 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous: $f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x< c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases}$ Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 구간에서 함수는 각각 다항식으로 정의되므로 $x\ne c$ 에서 함수는 연속이다. 따라서 문제가 되는 것은 $x=c$ 에서 함수가 연속인지 여부뿐이다. 또한 $\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4$ 이고 $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,$ 이다. 연속이려면 두 극한과 함숫값이 모두 일치해야 하므로, $f$ 가 연속일 필요충분조건은 $c^2-4 = 3c$ 이다. 즉 필요충분조건은 $c^2-3c-4 = 0\,$ 이다. 이를 $(c-4)(c+1) = 0$ 으로 인수분해하면 $c=-1$ 또는 $c=+4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x\ne c$ since each of those two branches are defined by polynomials. Thus, the only question is whether the function is continuous at $x=c$ . Furthermore, $\lim_{x\to c^-}f(x) = c^2-4$ and $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c) = 3c\,.$ For continunity we need both limits and the value to agree, so $f$ is continuous if and only if $c^2-4 = 3c$ , that is if and only if $c^2-3c-4 = 0\,.$ Factoring this as $(c-4)(c+1) = 0$ yields $c=-1$ or $c=+4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번

# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류

12.CLP-1 · 1.6절 · 20번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 $c$ 의 모든 값을 구하세요. $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{일 때} & x\le 2c\\ x^2 & \text{일 때} & x> 2c \end{array}\right.$ 연속의 정의를 이용하여 답을 근거와 함께 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous: $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x> 2c \end{array}\right.$ Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 함수는 $x\ne 2c$ 에서 연속이다. 따라서 남은 문제는 함수가 $x=2c$ 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x)$ 이어야 한다. 각각 계산하면 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2;$ $f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{이고}$ $\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2$ 이다. 따라서 $6-2c^2=4c^2$ 이어야 하므로 $c^2=1$ , 즉 $c=-1$ 또는 $c=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x\ne 2c$ since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at $x=2c$ ; for this we need $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x).$ We compute $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2;$ $f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{ and}$ $\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2.$ So, we need $6-2c^2=4c^2$ , which yields $c^2=1$ , i.e. $c=-1$ or $c=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 23번

# 함수의 연속증명·논술보통자동 분류