문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

한 점에서 연속인 조건(함숫값=극한값)을 확인하고 불연속인 곳을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

64문제 · 4 / 4쪽

61.CLP-1 · 1.6절 · 15번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

정답·풀이 보기

함수 $1/\sqrt{x}$ 는 $(0,+\infty)$ 에서 연속이고 함수 $\cos(x) + 1$ 은 모든 점에서 연속이다.

따라서 $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ 은 $\cos x=-1$ 인 점을 제외하고 연속이다. 이것은 $x$ 가 $\pi$ 의 홀수 배일 때 일어난다. 그러므로 이 함수는 $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ 를 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $1/\sqrt{x}$ is continuous on $(0,+\infty)$ and the function $\cos(x) + 1$ is continuous everywhere.

So $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ is continuous except when $\cos x=-1$ . This happens when $x$ is an odd multiple of $\pi$ . Hence the function is continuous except at $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

62.CLP-1 · 1.6절 · 16번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

정답·풀이 보기

이 함수는 $\sin(x)\neq 0$ 일 때 연속이다. 즉, $x$ 가 $\pi$ 의 정수 배가 아닐 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when $\sin(x)\neq 0$ . That is, when $x$ is not an integer multiple of $\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 17번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

63.CLP-1 · 1.6절 · 26번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 $f(x)=x^7-15x^6+9x^2-18x+15$ 의 근을 포함하는, 길이가 1인 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the intermediate value theorem to find an interval of length one containing a root of $f(x)=x^7-15x^6+9x^2-18x+15$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 다항식이므로 모든 점에서 연속이다. $f(a)>0$ 이고 $f(b)<0$ 인 값 $a$ , $b$ 를 찾을 수 있다면, 사잇값 정리에 의해 $(a,b)$ 에 $f(c)=0$ 인 $c$ 가 존재한다. 즉, 구간 $[a,b]$ 에 근이 있다. 계산하기 쉬운 $x$ 값부터 대입해 보자.

$f(0)=15$ 이고, $f(1)=1-15+9-18+15=-8$ 이다. 0 은 $f(0)$ 과 $f(1)$ 사이에 있고 $f$ 는 연속이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(x)=0$ 인 $x$ 가 $[0,1]$ 에 반드시 존재한다. 즉, $[0,1]$ 에 근이 있다.

이 구간이 가장 찾기 쉬운 구간이었다. 계속 대입해 보면 두 구간을 더 찾을 수 있다. $f(-1)=26$ (양수)이고 $f(-2)=-1001$ (음수)이므로 $[-2,-1]$ 에 근이 있다.

계산이 까다롭지만 $[14,15]$ 에도 근이 있다.

이것은 중요한 요령이다. 차수가 높은 다항식은 근의 정확한 값을 구하는 것이 불가능한 경우가 많다. 사잇값 정리를 이용하면 적어도 근이 반드시 있는 범위를 제시할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)$ is a polynomial, so it's continuous everywhere. If we can find values $a$ and $b$ so that $f(a)>0$ and $f(b)<0$ , then by the IVT, there will exist some $c$ in $(a,b)$ where $f(c)=0$ ; that is, there is a root in the interval $[a,b]$ . Let's start plugging in easy values of $x$ .

$f(0)=15$ , and $f(1)=1-15+9-18+15=-8$ . Since 0 is between $f(0)$ and $f(1)$ , and since $f$ is continuous, by IVT there must be some $x$ in $[0,1]$ for which $f(x)=0$ : that is, there is some root in $[0,1]$ .

That was the easiest interval to find. If you keep playing around, you find two more. $f(-1)=26$ (positive) and $f(-2)=-1001$ (negative), so there is a root in $[-2,-1]$ .

The arithmetic is nasty, but there is also a root in $[14,15]$ .

This is an important trick. For high-degree polynomials, it is often impossible to get the exact values of the roots. Using the IVT, we can at least give a range where a root must be.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번

# 함수의 연속계산도전자동 분류

64.CLP-1 · 1.6절 · 27번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 $\sqrt[3]{7}$ 의 소수 근삿값을 적어도 소수 둘째 자리까지 정확하게 구하세요. 계산기를 사용해도 되지만 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에만 사용할 수 있습니다.

영어 원문 보기

Use the intermediate value theorem to give a decimal approximation of $\sqrt[3]{7}$ that is correct to at least two decimal places. You may use a calculator, but only to add, subtract, multiply, and divide.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=x^3$ 이라 하자. $f$ 는 다항식이므로 모든 곳에서 연속이다. $f(a)<7<f(b)$ 이면 $\sqrt[3]{7}$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 있다. 이 부등식을 만족시키면서 서로 매우 가까운 $a$ 와 $b$ 를 찾을 수 있다면, $\sqrt[3]{7}$ 의 좋은 근삿값을 얻을 수 있다.

정수부터 시작해 보자. $1^3<7<2^3$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1,2)$ 에 있다.
범위를 좁혀 보자. 예를 들어 $f(1.5)$ 를 살펴보자. $(1.5)^3 = 3.375<7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1.5,2)$ 에 있다.
더 좁혀 보자. 예를 들어 $f(1.75)$ 를 살펴보자. $(1.75)^3\approx 5.34<7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1.75,2)$ 에 있다.
여러 값을 시험해 보면 $f(1.9)<7<f(2)$ 임을 알 수 있으므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 $1.9$ 와 $2$ 사이에 있다.
더 시험해 보면 $f(1.91)<7<f(1.92)$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 $(1.91,1.92)$ 에 있다.
$\sqrt[3]{7}$ 을 소수 둘째 자리까지 반올림한 근삿값을 얻으려면 $\sqrt[3]{7}$ 이 $1.915$ 보다 큰지 작은지를 알아야 한다. 실제로 $f(1.915) \approx 7.02>7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}<1.915$ 이고, 따라서 소수 둘째 자리까지 반올림하면 $\sqrt[3]{7}\approx 1.91$ 이다.

이것이 $\sqrt[3]{7}$ 을 어림하는 당연한 방법으로 느껴진다면 잘 이해한 것이다. 사잇값 정리는 매우 직관적인 원리를 정식으로 나타낸 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)=x^3$ . Since $f$ is a polynomial, it is continuous everywhere. If $f(a)<7<f(b)$ , then $\sqrt[3]{7}$ is somewhere between $a$ and $b$ . If we can find $a$ and $b$ that satisfy these inequalities, and are very close together, that will give us a good approximation for $\sqrt[3]{7}$ .

Let's start with integers. $1^3<7<2^3$ , so $\sqrt[3]{7}$ is in the interval $(1,2)$ .
Let's narrow this down, say by testing $f(1.5)$ . $(1.5)^3 = 3.375<7$ , so $\sqrt[3]{7}$ is in the interval $(1.5,2)$ .
Let's narrow further, say by testing $f(1.75)$ . $(1.75)^3\approx 5.34<7$ , so $\sqrt[3]{7}$ is in the interval $(1.75,2)$ .
Testing various points, we find $f(1.9)<7<f(2)$ , so $\sqrt[3]{7}$ is between $1.9$ and $2$ .
By testing more, we find $f(1.91)<7<f(1.92)$ , so $\sqrt[3]{7}$ is in $(1.91,1.92)$ .
In order to get an approximation for $\sqrt[3]{7}$ that is rounded to two decimal places, we have to know whether $\sqrt[3]{7}$ is greater or less than $1.915$ ; indeed $f(1.915) \approx 7.02>7$ , so $\sqrt[3]{7}<1.915$ ; then rounded to two decimal places, $\sqrt[3]{7}\approx 1.91$ .

If this seems like the obvious way to approximate $\sqrt[3]{7}$ , that's good. The IVT is a formal statement of a very intuitive principle.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번

# 함수의 연속계산도전자동 분류