함수의 연속 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에서 정의되어 있다고 해요. 각 설명에 맞는 성질을 가진 그래프를 그리세요.

$x=1$ 에서 불연속이고 $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ , $\lim_{x\to 2}f(x)=4$ 인 함수

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=1$ with $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ and $\lim_{x\to 2}f(x)=4$

풀이 보기

$x=1$ 에서만 일부러 끊어 놓고 나머지는 두 극한 조건을 만족하는 선으로 이으면 돼요.

1
조건을 정리해요. 세 가지가 필요해요. ① $x=1$ 에서 끊어질 것, ② $x=-1$ 근처에서 $y$ 가 $-1$ 에 가까울 것, ③ $x=2$ 근처에서 $y$ 가 $4$ 에 가까울 것.
2
쉬운 식을 골라요. $x<1$ 에서는 $f(x)=x$ 로 놓으면 $x\to-1$ 일 때 $-1$ 이에요. $x\ge1$ 에서는 $f(x)=x+2$ 로 놓으면 $x\to2$ 일 때 $4$ 예요.
3
$x=1$ 에서 끊어졌는지 확인해요. 왼쪽 극한은 $1$ , 오른쪽 극한은 $1+2=3$ 이에요. 극한이 서로 달라 $x=1$ 에서 불연속(점프)이에요. 그래프는 점 $(1,1)$ 까지 오는 선과 점 $(1,3)$ 에서 시작하는 선으로 그려요.

답

예시 답: $f(x)=\begin{cases}x,&x<1\\x+2,&x\ge1\end{cases}$ (정답은 여러 가지예요)

자주 하는 실수

그래프를 한 번에 이어서 그려 $x=1$ 에서 끊기지 않게 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

The graph of a piecewise function with two parts. The first part is an increasing curve that exists for x < 1. It ends at (1,1). The second part is an increasing line that exists for x > 1. It begins at (1,3).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번

# 함수의 연속그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 2.4절 · 24번우리말 번역

다음 그래프에 나타난 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 생각하세요.

사잇값 정리를 나타낸 그림이다. 구간 (a,b) 에서 연속인 임의의 곡선 모양 함수가 그려져 있다. 점 fa. 와 fb. 가 표시되어 있고, a, b, fa., fb. 에서 각각 점 (a, fa.) 와 (b, fb.) 로 점선이 그어져 있다. a 와 b 사이에 세 번째 점 c 가 찍혀 있다. 함수가 연속이므로 곡선 위에 fc. 의 값이 존재하며, c 에서 (c, fc.) 로, 그리고 (c, fc.) 에서 y축 위의 fc. 로 선이 그어져 있고, 이 값은 y축에서 z 로 표시되어 있다.

a. 함수가 불연속인 값을 모두 구하세요. b. a에서 구한 각 값에 대해, 연속의 정의를 적용할 수 없는 이유를 말하세요. c. 각 불연속을 점프(도약), 제거 가능, 무한 중 하나로 분류하세요.

영어 원문 보기

Consider the graph of the function $y=f(x)$ shown in the following graph.

a. Find all values for which the function is discontinuous. b. For each value in part a., state why the formal definition of continuity does not apply. c. Classify each discontinuity as either jump, removable, or infinite.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 20번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번우리말 번역

$f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}$ 라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(1)=k$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 k 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find a value k such that $f(1)=k,$ which makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

정답·풀이 보기

a.

주어진 구간별로 정의된 함수의 그래프로, 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 x^3 으로, x < 1 에서 존재하며 (1,1) 에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째 부분은 3x 로, x > 1 에서 존재한다. 이 부분은 (1,3) 에서 속이 빈 원으로 시작한다.

b. 이 불연속은 점프 불연속이므로 $f(1)$ 을 다시 정의하는 것은 불가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of the given piecewise function containing two segments. The first, x^3, exists for x < 1 and ends with an open circle at (1,1). The second, 3x, exists for x > 1. It beings with an open circle at (1,3).

b. It is not possible to redefine $f(1)$ since the discontinuity is a jump discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 15번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.4절 · 26번우리말 번역

$x\ne -1,1$ 에 대해 $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ 이라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(-1)={k}_{1}$ 과 $f(1)={k}_{2}$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 ${k}_{1}$ 과 ${k}_{2}$ 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ for $x\ne -1,1.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find values ${k}_{1}$ and ${k}_{2}$ such that $f(-1)={k}_{1}$ and $f(1)={k}_{2},$ and that makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번우리말 번역

성질 i.부터 vi.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $(-\infty ,+\infty )$ 이다. ii. f 는 $x=-6$ 에서 무한 불연속이다. iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f 는 $x=3$ 에서 좌연속이지만 우연속은 아니다.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through vi.

i. The domain of f is $(-\infty ,+\infty ).$ ii. f has an infinite discontinuity at $x=-6.$ iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f is left continuous but not right continuous at $x=3.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 한 예이다.

여러 선분과 곡선으로 이루어진 구간별로 정의된 함수의 그래프이다. 첫 번째는 x < -8 에서 존재하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 (-8,-8)에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째는 -8 <= x < -6 에서 존재하는 증가하는 곡선이다. 이 곡선은 (-8, 0 )에서 속이 찬 원으로 시작하며, x가 왼쪽에서 -6에 가까워질 때 무한대로 발산한다. 세 번째는 점 (-6, 3)에 있는 속이 찬 원이다. 네 번째는 -6 < x <= 3 에서 존재하는 직선이다. 이 직선은 (-6, 2)에서 속이 빈 원으로 시작하여 (3,2)에서 속이 찬 원으로 끝난다. 다섯 번째는 (3,3)에서 속이 빈 원으로 시작하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 x > 3 에서 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 17번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.4절 · 28번우리말 번역

성질 i.부터 iv.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $[0,5]$ 이다. ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ 와 $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ 가 존재하고 서로 같다. iii. $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 좌연속이지만 연속은 아니고, $x=3$ 에서 우연속이지만 연속은 아니다. iv. $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 제거 가능한 불연속, $x=2$ 에서 점프 불연속이고, 다음 극한이 성립한다: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ 그리고 $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through iv.

i. The domain of f is $[0,5].$ ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ and $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ exist and are equal. iii. $f(x)$ is left continuous but not continuous at $x=2,$ and right continuous but not continuous at $x=3.$ iv. $f(x)$ has a removable discontinuity at $x=1,$ a jump discontinuity at $x=2,$ and the following limits hold: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ and $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.4절 · 30번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에 대해 정의되어 있다고 하자. 각 설명에 대해 주어진 성질을 갖는 그래프를 그리세요.

$x=2$ 에서는 불연속이지만 그 외에서는 연속이고 $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=2$ but continuous elsewhere with $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 11번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 1.5절 · 11번우리말 번역

연습문제 11–18에서 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하고, 연속이 아니면 그 이유를 말하세요.

$a = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 1$

정답·풀이 보기

아니요; $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 2$ 이지만 $f(1) = 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

No; $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 2$ , while $f(1) = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 1.5절 · 12번우리말 번역

연습문제 11–18에서 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하고, 연속이 아니면 그 이유를 말하세요.

$a = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 1$

정답·풀이 보기

아니요; $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

No; $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 1번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 1.5절 · 13번우리말 번역

연습문제 11–18에서, 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

$a = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 1$

정답·풀이 보기

아니요; $f(1)$ 이 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

No; $f(1)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 9번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 1.5절 · 14번우리말 번역

연습문제 11–18에서, 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

$a = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 1.5절 · 15번우리말 번역

연습문제 11–18에서, 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

$a = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 6번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 1.5절 · 16번우리말 번역

연습문제 11–18에서, 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

$a = 4$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 4$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 1.5절 · 17번우리말 번역

연습문제 11–18에서, 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

(a) $a = -2$ (b) $a=0$ (c) $a=2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

(a) $a = -2$ (b) $a=0$ (c) $a=2$

정답·풀이 보기

(a) 아니요; $\displaystyle \lim_{x\to -2}f(x) \neq f(-2)$ (b) 예 (c) 아니요; $f(2)$ 가 정의되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No; $\displaystyle \lim_{x\to -2}f(x) \neq f(-2)$ (b) Yes (c) No; $f(2)$ is not defined.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 1.5절 · 18번우리말 번역

연습문제 11–18에서 함수 $f$ 의 그래프와 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $f$ 가 $a$ 에서 연속인지 판단하고, 연속이 아니라면 그 이유를 말하세요.

$a = 3\pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–18, a graph of a function $f$ is given along with a value $a$ . Determine if $f$ is continuous at $a$ ; if it is not, state why it is not.

$a = 3\pi/2$

정답·풀이 보기

예; $\displaystyle \lim_{x\to 3\pi/2} \sin x +1 = 0$ 이고, $\sin(3\pi/2)+1 = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes; $\displaystyle \lim_{x\to 3\pi/2} \sin x +1 = 0$ , and $\sin(3\pi/2)+1 = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

16.CLP-1 · 1.6절 · 1번우리말 번역

무한 불연속점을 무수히 많이 갖는 함수의 예를 하나 드세요. (식을 쓰거나 그래프를 그려도 됩니다.)

영어 원문 보기

Give an example of a function (you can write a formula, or sketch a graph) that has infinitely many infinite discontinuities.

정답·풀이 보기

여러 가지 답이 가능하다. 탄젠트 함수가 이와 같은 성질을 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; the tangent function behaves like this.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 7번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류

17.CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 중에서 $f(0)=0$ , $f(2)=2$ 이고 $f(x)$ 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Give an example (by sketch or formula) of a function $f(x)$ , defined on the interval $[0,2]$ , with $f(0)=0$ , $f(2)=2$ , and $f(x)$ never equal to 1. Why does this not contradict the Intermediate Value Theorem?

정답·풀이 보기

한 가지 예는 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right.$ 이다. 사잇값 정리(IVT)는 $f$ 가 $[0,2]$ 에서 연속일 때에만 $[0,2]$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=1$ 임을 보장한다. $f$ 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

One example is $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&\text{when }0 \leq x \leq 1\\ 2&\text{when }1<x \leq 2 \end{array}\right.$ . The IVT only guarantees $f(c)=1$ for some $c$ in $[0,2]$ when $f$ is continuous over $[0,2]$ . If $f$ is not continuous, the IVT says nothing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 2번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류