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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

삼중적분

공간 영역에서 삼중적분을 세워 부피와 질량을 구한다

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 3.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

∬Rb2−y2 dx dy  여기서 R 은 직사각형 0≤x≤a, 0≤y≤b\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}

반복적분을 사용하지 말고, 대신 이 적분을 기하학적으로 해석하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral

∬Rb2−y2 dx dy  where R is the rectangle 0≤x≤a, 0≤y≤b\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ where $R$ is the rectangle $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}

without using iteration. Instead, interpret the integral geometrically.

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∬Rb2−y2 dx dy=∭Vdx dy dz\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z 이고, 여기서

V={ (x,y,z) ∣ 0≤z≤b2−y2, 0≤x≤a, 0≤y≤b }={ (x,y,z) ∣ y2+z2≤b2, 0≤x≤a, y≥0, z≥0 }\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}

이다.

이제 y2+z2≤b2y^2+z^2\le b^2 은 xx축을 중심축으로 하는 반지름 bb 인 원기둥이고, y2+z2≤b2y^2+z^2\le b^2 중에서 y≥0, z≥0y\ge0,\ z\ge0 인 부분은 이 원기둥의 4분의 1이다. 이 부분의 단면의 넓이는 14πb2\frac{1}{4}\pi b^2 이다. VV 는 이 4분의 1 원기둥 중에서 0≤x≤a0\le x\le a 인 부분이다. 길이는 aa 이고 단면의 넓이는 14πb2\frac{1}{4}\pi b^2 이다. 따라서 ∬Rb2−y2 dx dy=14πab2\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

∬Rb2−y2 dx dy=∭Vdx dy dz\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, where

V={ (x,y,z) ∣ 0≤z≤b2−y2, 0≤x≤a, 0≤y≤b }={ (x,y,z) ∣ y2+z2≤b2, 0≤x≤a, y≥0, z≥0 }\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}

Now y2+z2≤b2y^2+z^2\le b^2 is a cylinder of radius bb centered on the xx–axis and the part of y2+z2≤b2y^2+z^2\le b^2, with y≥0, z≥0y\ge0,\ z\ge0 is one quarter of this cylinder. It has cross–sectional area 14πb2\frac{1}{4}\pi b^2. VV is the part of this quarter–cylinder with 0≤x≤a0\le x\le a. It has length aa and cross–sectional area 14πb2\frac{1}{4}\pi b^2. So, ∬Rb2−y2 dx dy=14πab2\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 15번
# 삼중적분계산기본자동 분류
2.CLP-3 · 3.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

밀도함수 h(x,y,z)=xh(x, y, z) = x 를 갖는 직육면체 상자 [0,1]×[0,2]×[0,3][0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3] (즉, 부등식 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤20 \le y \le 2, 0≤z≤30 \le z \le 3 으로 정의되는 상자)의 전체 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total mass of the rectangular box [0,1]×[0,2]×[0,3][0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3] (that is, the box defined by the inequalities 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤20 \le y \le 2, 0≤z≤30 \le z \le 3), with density function h(x,y,z)=xh(x, y, z) = x.

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질량은 다음과 같다.

∫01dx∫02dy∫03dz x=6∫01dx x=3\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The mass is

∫01dx∫02dy∫03dz x=6∫01dx x=3\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 14번
# 삼중적분계산기본자동 분류