다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 5.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=4$ 와 $n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 곡면 $z=f(x,y)$ , 수직 평면 $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ $y=2$ , 그리고 수평 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 입체의 부피를 어림하세요.

$f(x,y)=4x+2y+8xy$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the midpoint rule with $m=4$ and $n=2$ to estimate the volume of the solid bounded by the surface $z=f(x,y),$ the vertical planes $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ and $y=2,$ and the horizontal plane $z=0.$

$f(x,y)=4x+2y+8xy$

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=4$ 와 $n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 곡면 $z=f(x,y)$ , 수직 평면 $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ $y=2$ , 그리고 수평 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 입체의 부피를 어림하세요.

$f(x,y)=16{x}^{2}+\frac{y}{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the midpoint rule with $m=4$ and $n=2$ to estimate the volume of the solid bounded by the surface $z=f(x,y),$ the vertical planes $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ and $y=2,$ and the horizontal plane $z=0.$

$f(x,y)=16{x}^{2}+\frac{y}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=n=2$ 인 리만 합을 사용하고 표본점을 분할된 작은 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점으로 하여 ${\iint }_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요.

$f(x,y)=\sin \,x-\cos \,y,$ $R=[0,\pi ]\,\times \,[0,\pi ]$

영어 원문 보기

In the following exercises, estimate ${\iint }_{R}f(x,y)dA$ by using a Riemann sum with $m=n=2$ and the sample points to be the lower left corners of the subrectangles of the partition.

$f(x,y)=\sin \,x-\cos \,y,$ $R=[0,\pi ]\,\times \,[0,\pi ]$

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

4.OpenStax 3권 · 5.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=n=2$ 인 리만 합을 사용하고 표본점을 분할된 작은 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점으로 하여 ${\iint }_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요.

$f(x,y)=\cos \,x+\cos \,y,$ $R=[0,\pi ]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, estimate ${\iint }_{R}f(x,y)dA$ by using a Riemann sum with $m=n=2$ and the sample points to be the lower left corners of the subrectangles of the partition.

$f(x,y)=\cos \,x+\cos \,y,$ $R=[0,\pi ]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 35번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

5.OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

$m=n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 어림하세요. 여기서 $R=[8,10]\,\times \,[9,11]$ 에서 함수 f 의 값은 다음 표와 같다.


	y
x	9	9.5	10	10.5	11
8	9.8	5	6.7	5	5.6
8.5	9.4	4.5	8	5.4	3.4
9	8.7	4.6	6	5.5	3.4
9.5	6.7	6	4.5	5.4	6.7
10	6.8	6.4	5.5	5.7	6.8

영어 원문 보기

Use the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where the values of the function f on $R=[8,10]\,\times \,[9,11]$ are given in the following table.


	y
x	9	9.5	10	10.5	11
8	9.8	5	6.7	5	5.6
8.5	9.4	4.5	8	5.4	3.4
9	8.7	4.6	6	5.5	3.4
9.5	6.7	6	4.5	5.4	6.7
10	6.8	6.4	5.5	5.7	6.8

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21.3.

원본 교재 풀이(영어)

21.3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 31번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 5.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

직사각형 $R=[0,2]\,\times \,[7,9]$ 에서 함수 f 의 값은 다음 표와 같습니다. $m=n=2$ 인 리만 합을 사용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요. 표본점은 R 의 각 작은 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점으로 선택하세요.


	${y}_{0}=7$	${y}_{1}=8$	${y}_{2}=9$
${x}_{0}=0$	10.22	10.21	9.85
${x}_{1}=1$	6.73	9.75	9.63
${x}_{2}=2$	5.62	7.83	8.21

영어 원문 보기

The values of the function f on the rectangle $R=[0,2]\,\times \,[7,9]$ are given in the following table. Estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA$ by using a Riemann sum with $m=n=2.$ Select the sample points to be the upper right corners of the subsquares of R.


	${y}_{0}=7$	${y}_{1}=8$	${y}_{2}=9$
${x}_{0}=0$	10.22	10.21	9.85
${x}_{1}=1$	6.73	9.75	9.63
${x}_{2}=2$	5.62	7.83	8.21

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

가로 4피트, 세로 4피트인 어린이용 수영장의 깊이를 1피트 간격으로 측정한 값이 다음 표와 같다.

a. $m=n=2$ 인 리만 합을 이용하여 수영장에 담긴 물의 부피를 어림하세요. 표본점은 $R=[0,4]\,\times \,[0,4]$ 에서 중점 규칙을 사용하여 선택하세요. b. 수영장의 평균 깊이를 근삿값으로 구하세요.


	y
x	0	1	2	3	4
0	1	1.5	2	2.5	3
1	1	1.5	2	2.5	3
2	1	1.5	1.5	2.5	3
3	1	1	1.5	2	2.5
4	1	1	1	1.5	2

영어 원문 보기

The depth of a children’s 4-ft by 4-ft swimming pool, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.

a. Estimate the volume of water in the swimming pool by using a Riemann sum with $m=n=2.$ Select the sample points using the midpoint rule on $R=[0,4]\,\times \,[0,4].$ b. Approximate the average depth of the swimming pool.


	y
x	0	1	2	3	4
0	1	1.5	2	2.5	3
1	1	1.5	2	2.5	3
2	1	1.5	1.5	2.5	3
3	1	1	1.5	2	2.5
4	1	1	1	1.5	2

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a. 28 ${\text{ft}}^{3}$ b. 1.75 ft.

원본 교재 풀이(영어)

a. 28 ${\text{ft}}^{3}$ b. 1.75 ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

땅에 판 3-ft × 3-ft 구덩이의 깊이를 1-ft 간격으로 측정한 값이 다음 표와 같다.

a. 표본점을 R 의 부분 정사각형의 왼쪽 위 꼭짓점으로 하고 $m=n=3$ 인 리만 합을 이용하여 구덩이의 부피를 어림하세요. b. 구덩이의 평균 깊이를 어림하세요.


	y
x	0	1	2	3
0	6	6.5	6.4	6
1	6.5	7	7.5	6.5
2	6.5	6.7	6.5	6
3	6	6.5	5	5.6

영어 원문 보기

The depth of a 3-ft by 3-ft hole in the ground, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.

a. Estimate the volume of the hole by using a Riemann sum with $m=n=3$ and the sample points to be the upper left corners of the subsquares of R. b. Approximate the average depth of the hole.


	y
x	0	1	2	3
0	6	6.5	6.4	6
1	6.5	7	7.5	6.5
2	6.5	6.7	6.5	6
3	6	6.5	5	5.6

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 5.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

함수 f 의 등위곡선 $f(x,y)=k$ 가 다음 그래프와 같다. 여기서 k 는 상수이다.

a. $m=n=2$ 로 중점 규칙을 적용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 어림하세요. 여기서 $R=[0.2,1]\,\times \,[0,0.8]$ 이다. b. R 에서 함수 f 의 평균값을 어림하세요. k = −1, −½, −¼, −1/8, 0, 1/8, ¼, ½, 1 로 표시된 일련의 곡선이다. k = 0 으로 표시된 선은 직선 y = x 를 따르는 점근선 역할을 한다. 곡선들은 (y축을 따라) 1, 0.7, 0.5, 0.38, 0, (x축을 따라) 0.38, 0.5, 0.7, 1 에서 시작하며, 바깥쪽에 있는 곡선일수록 점근선을 향해 덜 급격하게 휜다.

영어 원문 보기

The level curves $f(x,y)=k$ of the function f are given in the following graph, where k is a constant.

a. Apply the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $R=[0.2,1]\,\times \,[0,0.8].$ b. Estimate the average value of the function f on R. A series of curves marked k = negative 1, negative ½, negative ¼, negative 1/8, 0, 1/8, ¼, ½, and 1. The line marked k = 0 serves as an asymptote along the line y = x. The lines originate at (along the y axis) 1, 0.7, 0.5, 0.38, 0, (along the x axis) 0.38, 0.5, 0.7, and 1, with the further out lines curving less dramatically toward the asymptote.

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a. $0.112$ b. ${f}_{\text{ave}}\simeq 0.175$ ; 여기서 $f(0.4,0.2)\simeq 0.1,$ $f(0.2,0.6)\simeq -0.2,$ $f(0.8,0.2)\simeq 0.6$ , 그리고 $f(0.8,0.6)\simeq 0.2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $0.112$ b. ${f}_{\text{ave}}\simeq 0.175;$ here $f(0.4,0.2)\simeq 0.1,$ $f(0.2,0.6)\simeq -0.2,$ $f(0.8,0.2)\simeq 0.6,$ and $f(0.8,0.6)\simeq 0.2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 5.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

함수 f 의 등위곡선 $f(x,y)=k$ 가 다음 그래프에 주어져 있다. 여기서 k 는 상수이다.

a. $m=n=2$ 로 중점법칙을 적용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요. 여기서 $R=[0.1,0.5]\,\times \,[0.1,0.5]$ 이다. b. $R$ 에서 함수 f 의 평균값을 어림하세요. 제1사분면에 그려진 사분원들의 모임으로, 각각 k = 1/32, 1/16, 1/8, ¼, ½, ¾, 1로 표시되어 있다. 이 사분원들의 반지름은 차례대로 0. 17, 0.25, 0.35, 0.5, 0.71, 0.87, 1이다.

영어 원문 보기

The level curves $f(x,y)=k$ of the function f are given in the following graph, where k is a constant.

a. Apply the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $R=[0.1,0.5]\,\times \,[0.1,0.5].$ b. Estimate the average value of the function f on R. A series of quarter circles drawn in the first quadrant marked k = 1/32, 1/16, 1/8, ¼, ½, ¾, and 1. The quarter circles have radii 0. 17, 0.25, 0.35, 0.5, 0.71, 0.87, and 1, respectively.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 21번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 3권 · 5.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

곡면 $z=\sqrt{4-{y}^{2}}$ 아래쪽과 직사각형 영역 $R=[0,2]\,\times \,[0,2]$ 위쪽에 놓인 입체가 다음 그래프에 나타나 있다. 대응하는 입체의 부피를 구하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요. 여기서 $f(x,y)=\sqrt{4-{y}^{2}}$ 이다.

중심이 x축 위에 있고 반지름이 2인 사분원기둥이다. 그림과 같이 높이는 2이다.

영어 원문 보기

The solid lying under the surface $z=\sqrt{4-{y}^{2}}$ and above the rectangular region $R=[0,2]\,\times \,[0,2]$ is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $f(x,y)=\sqrt{4-{y}^{2}},$ by finding the volume of the corresponding solid.

A quarter cylinder with center along the x axis and with radius 2. It has height 2 as shown.

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$2\pi .$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 4번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 3권 · 5.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

평면 $z=y+4$ 아래에 있고 직사각형 영역 $R=[0,2]\,\times \,[0,4]$ 위에 있는 입체가 다음 그래프에 나타나 있습니다. 대응하는 입체의 부피를 구하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요. 단, $f(x,y)=y+4$ 입니다.

영어 원문 보기

The solid lying under the plane $z=y+4$ and above the rectangular region $R=[0,2]\,\times \,[0,4]$ is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $f(x,y)=y+4,$ by finding the volume of the corresponding solid.

In xyz space, a shape is created with sides given by y = 0, x = 0, y = 4, x = 2, z = 0, and the plane the runs from z = 4 along the y axis to z = 8 along the plane formed by y = 4.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 29번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 적분 순서를 바꾸어 적분을 계산하세요.

$\int_{-1}^{1}\left(\int_{-2}^{2}(2x+3y+5)dx\right)dy$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{-1}^{1}\left(\int_{-2}^{2}(2x+3y+5)dx\right)dy$

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

14.OpenStax 3권 · 5.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분값을 구하세요.

$\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}(x+2{e}^{y}-3)dx\right)dy$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}(x+2{e}^{y}-3)dx\right)dy$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 37번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

15.OpenStax 3권 · 5.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분값을 구하세요.

$\int_{1}^{27}\left(\int_{1}^{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{1}^{27}\left(\int_{1}^{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)dy\right)dx$

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정답·풀이 보기

$\frac{81}{2}+39\sqrt[3]{2}.$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{81}{2}+39\sqrt[3]{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

16.OpenStax 3권 · 5.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분값을 구하세요.

$\int_{1}^{16}\left(\int_{1}^{8}\left(\sqrt[4]{x}+2\sqrt[3]{y}\right)dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{1}^{16}\left(\int_{1}^{8}\left(\sqrt[4]{x}+2\sqrt[3]{y}\right)dy\right)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

17.OpenStax 3권 · 5.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분값을 구하세요.

$\int_{\ln \,2}^{\ln \,3}\left(\int_{0}^{l}{e}^{x+y}dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{\ln \,2}^{\ln \,3}\left(\int_{0}^{l}{e}^{x+y}dy\right)dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$e-1.$

원본 교재 풀이(영어)

$e-1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

18.OpenStax 3권 · 5.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분값을 구하세요.

$\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}{3}^{x+y}dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}{3}^{x+y}dy\right)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

19.OpenStax 3권 · 5.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분을 계산하세요.

$\int_{1}^{6}\left(\int_{2}^{9}\frac{\sqrt{y}}{{x}^{2}}dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{1}^{6}\left(\int_{2}^{9}\frac{\sqrt{y}}{{x}^{2}}dy\right)dx$

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$15-\frac{10\sqrt{2}}{9}.$

원본 교재 풀이(영어)

$15-\frac{10\sqrt{2}}{9}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 27번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

20.OpenStax 3권 · 5.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분을 계산하세요.

$\int_{1}^{9}\left(\int_{4}^{2}\frac{\sqrt{x}}{{y}^{2}}dy\right)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.

$\int_{1}^{9}\left(\int_{4}^{2}\frac{\sqrt{x}}{{y}^{2}}dy\right)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

다중적분 전체 문제