문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수함수의 극한과 연속

여러 경로로 다가가 극한의 존재를 판단하고 연속성을 확인한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

8문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 4.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓: 여러 경로를 따라 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x)$ 를 계산했을 때 매번 극한이 $1$ 이면, $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x)=1$ 이라고 결론지을 수 있다.

영어 원문 보기

True or False: If we evaluate $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x)$ along several paths and each time the limit is $1,$ we can conclude that $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x)=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 20번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

2.APEX · 12.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

집합의 경계점과 내부의 점의 차이를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe in your own words the difference between boundary and interior points of a set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

3.APEX · 12.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (1,2)} f(x,y) = 17$ 이 무엇을 뜻하는지 자신의 말로 (비형식적으로) 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe (informally) what $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (1,2)} f(x,y) = 17$ means.

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 답은 “ $(x,y)$ 가 $(1,2)$ 에 가까워지면 $f(x,y)$ 는 17에 가까워진다.”이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. One answer is “As $(x,y)$ gets close to $(1,2)$ , $f(x,y)$ gets close to 17.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 5번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

4.APEX · 12.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

닫힌집합이면서 유계인 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a closed, bounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | x^2+y^2\leq 1\}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | x^2+y^2\leq 1\}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 11번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

5.APEX · 12.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

닫힌집합이면서 유계가 아닌 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a closed, unbounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | y\geq x^2 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | y\geq x^2 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 2번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

6.APEX · 12.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

열린집합이면서 유계인 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a open, bounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | x^2+y^2<1 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | x^2+y^2<1 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 2번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

7.APEX · 12.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

열린집합이면서 유계가 아닌 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a open, unbounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | y> x^2 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | y> x^2 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 24번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

8.CLP-3 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 다음을 만족시키는 함수라고 하자. $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

참 또는 거짓: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

영어 원문 보기

Suppose $f(x,y)$ is a function such that $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

True or false: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

정답·풀이 보기

일반적으로 이 명제는 거짓이다. $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ 을 생각하자.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (이 함수는 연속이다)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

우리는 흔히 (다소 안이하게) 극한 “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " 을 $(x,y)$ 가 원점에 가까워질수록 $f(x,y)$ 가 10 에 점점 가까워진다는 뜻으로 해석한다. 그러나 극한의 정의가 뜻하는 바는 정확히 이것이 아니다. 정의가 말해 주는 것은, $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 에 충분히 가깝게 택하면 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가깝도록 보장할 수 있다는 것이다.

$(0,0)$ 에 가깝지 않은 어떤 $(x,y)$ 에 대해서도 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가까울 수 있다. 게다가 $f(x,y)$ 가 10 에 “매우 가까워지려면" $(0,0)$ 에 얼마나 가까이 가야 하는지는 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. Consider $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ .

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (the function is continuous)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

We often (somewhat lazily) interpret the limit “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " to mean that, as $(x,y)$ gets closer and closer to the origin, $f(x,y)$ gets closer and closer to 10. This isn't exactly what the definition means, though. The definition tells us that, we can guarantee that $f(x,y)$ be very close to 10 by choosing $(x,y)$ very close to $(0,0)$ .

The function $f(x,y)$ can also be very close to 10 for some $(x,y)$ 's that are not close to $(0,0)$ . Moreover, we don't know how close to $(0,0)$ we have to be in order for $f(x,y)$ to be “very close" to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 3번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인기본자동 분류