문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

수열이 한 값에 수렴하는지, 발산(∞·진동)하는지 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번우리말 풀이

다음과 같이 정의된 수열이 극한을 갖는지 판단하고, 갖는다면 그 극한을 구하세요.

$a_1=3$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$ ( $n=2,3,\ldots$ )

영어 원문 보기

Determine whether the sequence defined as follows has a limit. If it does, find the limit.

${a}_{1}=3,$ ${a}_{n}=\sqrt{2{a}_{n-1}},$ $n=2,3,\ldots .$

풀이 보기

감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴하고, 극한 $a$ 는 $a=\sqrt{2a}$ 를 만족해요.

1
몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$ , $a_2=\sqrt6\approx2.449$ , $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.
2
$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).
3
감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$ , 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.
4
수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$ , $a_{n-1}\to a$ 이므로 $a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.