수열의 수렴과 발산 연습문제

1.CLP-2 · 3.1절 · 1번우리말 번역

수열이 그림에 나타난 대로 계속된다고 가정하고, 각 수열의 그래프로부터 수열의 극한을 어림하세요.

영어 원문 보기

Assuming the sequences continue as shown, estimate the limit of each sequence from its graph.

정답·풀이 보기

(a) 수열의 값이 -2에 점점 더 가까워지는 것으로 보이므로, 이 수열의 극한을 -2로 추측한다.

(b) 전체적으로 수열의 값이 0에 매우 가까워지는 것으로 보이므로, 이 수열의 극한을 0으로 어림한다. 수열의 부호가 바뀌거나, 값이 0에서 때로는 더 멀어지고 때로는 더 가까워지는 것은 상관없다.

(c) 이 극한은 존재하지 않는다. 수열이 어떤 때는 0이고 어떤 때는 -2이며, 어느 한 값에 일관되게 매우 가까이 머물지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The values of the sequence seem to be getting closer and closer to -2, so we guess the limit of this sequence is -2.

(b) Overall, the values of the sequence seem to be getting extremely close to 0, so we approximate the limit of this sequence as 0. It doesn't matter that the sequence changes signs, or that the numbers are sometimes farther from 0, sometimes closer.

(c) This limit does not exist. The sequence is sometimes 0, sometimes -2, and not consistently staying extremely near to either one.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 2번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-2 · 3.1절 · 26번우리말 번역

$\{A_n\}_{n=3}^\infty$ 을 변이 $n$ 개인 정다각형의 넓이라 하자. 다각형의 무게중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 1이다.

(a) 다각형을 $n$ 개의 삼각형으로 나누어 $A_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\{A_n\}_{n=3}^\infty$ be the area of a regular polygon with $n$ sides, with the distance from the centroid of the polygon to each corner equal to 1.

(a) By dividing the polygon into $n$ triangles, give a formula for $A_n$ . (b) What is $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ ?

정답·풀이 보기

(a) 넓이 $A_n$ 을 구하기 위해, 변이 $n$ 개인 도형을 $n$ 개의 이등변삼각형으로 나눌 수 있음에 주목한다. 각 삼각형은 길이가 1인 두 변과 그 사이의 각 $\frac{2\pi}{n}$ 를 가진다.

이 삼각형 하나의 넓이는 각각 $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

모두 합하면 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

(b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ 은 $\infty \times 0$ 꼴의 부정형이며, 이를 구하는 두 가지 방법을 살펴본다.

먼저, $n \to \infty$ 일 때 도형은 점점 반지름이 1인 원에 가까워진다. 따라서 $A_n$ 은 반지름이 1인 원의 넓이에 가까워진다. 즉 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ 이다.

다른 방법으로, 극한 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 을 이용할 수 있다. $x=\frac{2\pi}{n}$ 라 하자. $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 임에 주목한다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) To find the area $A_n$ , note that the figure with $n$ sides can be divided up into $n$ isosceles triangles, each with two sides of length 1 and angle between them of $\frac{2\pi}{n}$ :

Each of these triangles has area $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ :

All together, the area of the $n$ -sided figure is $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ .

(b) We will discuss two ways to find $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ , which has the indeterminate form $\infty \times 0$ .

First, note that as $n \to \infty$ , our figures look more and more like a circle of radius 1. So, we see $A_n$ is approaching the area of a circle of radius 1. That is, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ .

Alternately, we can make use of the limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Let $x=\frac{2\pi}{n}$ . Note if $n \to \infty$ , then $x \to 0$ .

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 24번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

3.CLP-2 · 3.1절 · 27번우리말 번역

상수 $x$ 에 따라 정해지는 수열 $\{f_n\}$ 을 다음과 같이 정의한다고 하자. $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$ 고정된 상수 $x \ge 1$ 에 대해 $\{f_n\}$ 은 수열 $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ 이다. 0이 아닌 유일한 항은 $k$ 번째 자리에 있으며, 여기서 $k$ 는 $x$ 를 0 이상의 정수로 내림한 값이다. $x<1$ 이면 이 수열은 모든 항이 0이다.

$x$ 에 서로 다른 값을 대입할 수 있으므로, $f_n(x)$ 를 수열을 대응시키는 함수로 생각할 수 있다. 즉 $x$ 가 다르면 수열이 달라진다. 한편 $n$ 을 고정한다고 생각하면 $f_n(x)$ 는 그냥 함수이며, $f_n(x)$ 는 $x$ 에 대응하는 수열의 $n$ 번째 항이다.

(a) 곡선 $y=f_2(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 곡선 $y=f_3(x)$ 의 그래프를 그리세요. (c) $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라고 정의하자. 수열 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 을 간단히 설명하세요. (d) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ 의 값을 구하세요. (e) 상수 $x$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ 의 값을 구하고, 그 결과를 $g(x)$ 라고 하세요. (f) $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we define a sequence $\{f_n\}$ , which depends on some constant $x$ , as the following: $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{else} \end{cases}$ For a fixed constant $x \ge 1$ , $\{f_n\}$ is the sequence $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ . The sole nonzero element comes in position $k$ , where $k$ is what we get when we round $x$ down to a whole number. If $x<1$ , then the sequence consists of all zeroes.

Since we can plug in different values of $x$ , we can think of $f_n(x)$ as a function of sequences: a different $x$ gives you a different sequence. On the other hand, if we imagine fixing $n$ , then $f_n(x)$ is just a function, where $f_n(x)$ gives the $n$ th term in the sequence corresponding to $x$ .

(a) Sketch the curve $y=f_2(x)$ . (b) Sketch the curve $y=f_3(x)$ . (c) Define $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ . Give a simple description of the sequence $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ . (d) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ . (e) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ for a constant $x$ , and call the result $g(x)$ . (f) Evaluate $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(c) 모든 $n$ 에 대해 길이가 1인 구간에서 $f_n(x)=1$ 이고, 그 밖의 모든 $x$ 에서 $f_n(x)=0$ 이다. 따라서 곡선 아래의 넓이는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이이다.

그러면 모든 $n$ 에 대해 $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ 이다. 즉 수열 $\{A_n\}$ 은 $\{1,1,\ldots,1\}$ , 곧 모든 항이 1인 수열이다. (d) 위의 설명에 따라 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ 이다. (e) 고정된 $x$ 에 대해 $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ 임을 떠올리자. 특히 이 수열의 끝에는 0이 무한히 많이 있다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ 이다. 그러면 모든 $x$ 에 대해 $g(x)=0$ 이다. (f) 위의 설명에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 지금까지 보인 것은, 이 특정한 $f_n(x)$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라는 사실이다. 즉 극한과 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아니다(이 경우 적분은 이상적분이므로 적분 자체가 또 하나의 극한이다). 이 둘의 순서를 바꿀 수 있는 조건이 궁금한 독자는 “균등수렴”을 찾아보기 바란다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(c) For any $n$ , $f_n(x)=1$ for an interval of length 1, and $f_n(x)=0$ for all other $x$ . So, the area under the curve is a square of side length one.

Then $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ for all $n$ . That is, the sequence $\{A_n\}$ is simply $\{1,1,\ldots,1\}$ , a sequence of all 1s. (d) Given the description above, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ . (e) For any fixed $x$ , recall $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ . In particular, there are infinitely many zeroes at its end. So, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ . Then $g(x)=0$ for every $x$ . (f) Given the description above, $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ .

Remark: what we've shown here is that, for this particular $f_n(x)$ , $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ That is, we can't necessarily swap a limit with an integral (which is, in this case, another limit, since the integral is improper). The interested reader can look up “uniform convergence" to learn about the conditions under which these can be swapped.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 26번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류