빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

2.APEX · 8.2절 · 1번우리말 번역

수열과 급수가 어떤 관계인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe how sequences and series are related.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

3.APEX · 8.2절 · 2번우리말 번역

부분합을 자신의 말로 정의하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to define a partial sum.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 4번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

4.APEX · 8.2절 · 3번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어질 때, 이 급수와 관련된 중요한 두 수열을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ , describe the two sequences related to the series that are important.

정답·풀이 보기

하나는 항들의 수열 $\{a_n\}$ 이다. 다른 하나는 $n^\text{th}$ 부분합의 수열 $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One sequence is the sequence of terms $\{a_n\}$ . The other is the sequence of $n^\text{th}$ partial sums, $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 6번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

5.APEX · 8.2절 · 4번우리말 번역

등비급수가 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to explain what a geometric series is.

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

6.APEX · 8.2절 · 5번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ is convergent, then $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is also convergent.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

7.APEX · 8.2절 · 6번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 0으로 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ converges to 0, then $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ converges.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 5번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류