빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비교 판정법

이미 아는 급수와 비교(직접·극한 비교)해 수렴·발산을 판정한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 3.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요. ∑k=30∞3(1.001)k\displaystyle\sum_{k=30}^\infty 3(1.001)^k.

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: ∑k=30∞3(1.001)k\displaystyle\sum_{k=30}^\infty 3(1.001)^k.

정답·풀이 보기

이 급수는 r=1.001r=1.001 인 등비급수이다. ∣r∣>1|r|>1 이므로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a geometric series with r=1.001r=1.001. Since ∣r∣>1|r|>1, it is divergent.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 23번
# 비교 판정법증명·논술보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-2 · 3.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: ∑n=3∞(−15)n\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n.

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: ∑n=3∞(−15)n\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n.

정답·풀이 보기

이 급수는 r=−15r=\frac{-1}{5} 인 등비급수이다. ∣r∣<1|r|<1 이므로 수렴한다.

공식 ∑n=0∞rn=11−r\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r} 을 사용하고 싶지만, 이 급수는 0에서 시작하지 않으므로 다음과 같이 다시 쓴다:

∑n=3∞(−15)n=∑n=0∞(−15)n−∑n=02(−15)n=11−(−1/5)−(1−15+125)=16/5−1+15−125=56+−25+5−125=−1150\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^2 \left(\frac{-1}{5}\right)^n =\frac{1}{1-(-1/5)} - \left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25} \right)\\ &=\frac{1}{6/5}-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25} = \frac{5}{6}+\frac{-25+5-1}{25}=-\frac{1}{150} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

This is a geometric series with r=−15r=\frac{-1}{5}. Since ∣r∣<1|r|<1, it is convergent.

We want to use the formula ∑n=0∞rn=11−r\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}, but our series does not start at 0, so we re-write it:

∑n=3∞(−15)n=∑n=0∞(−15)n−∑n=02(−15)n=11−(−1/5)−(1−15+125)=16/5−1+15−125=56+−25+5−125=−1150\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^2 \left(\frac{-1}{5}\right)^n =\frac{1}{1-(-1/5)} - \left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25} \right)\\ &=\frac{1}{6/5}-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25} = \frac{5}{6}+\frac{-25+5-1}{25}=-\frac{1}{150} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 20번
# 비교 판정법증명·논술보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.CLP-2 · 3.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: ∑k=0∞2k3k+2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}.

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: ∑k=0∞2k3k+2\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}.

정답·풀이 보기

이 급수는 거의 등비급수의 꼴이다. 먼저 거듭제곱이 k+2k+2 가 아니라 kk 가 되어야 하는데, 3k+2=3k32=9⋅323^{k+2}=3^k3^2=9\cdot3^2 임에 주목하면 다음과 같다.

∑k=0∞2k3k+2=∑k=0∞2k9⋅3k=19∑k=0∞2k3k=19∑k=0∞(23)k이제 r=23 인 등비급수처럼 보인다=19(11−(2/3))=13\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{9\cdot3^k} =\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^k}=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ \text{이제 $r=\frac{2}{3}$ 인 등비급수처럼 보인다} \\ &=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{1-(2/3)}\right)=\frac{1}{3} \end{aligned}

결론: 이 (등비)급수는 수렴하고, 그 합은 13\dfrac{1}{3} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is close to being in the form of a geometric series. First, we should have our powers be kk, not k+2k+2, but we notice 3k+2=3k32=9⋅323^{k+2}=3^k3^2=9\cdot3^2, so:

∑k=0∞2k3k+2=∑k=0∞2k9⋅3k=19∑k=0∞2k3k=19∑k=0∞(23)kNow it looks like a geometric series with r=23=19(11−(2/3))=13\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{9\cdot3^k} =\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^k}=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ \text{Now it looks like a geometric series with $r=\frac{2}{3}$} \\ &=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{1-(2/3)}\right)=\frac{1}{3} \end{aligned}

In conclusion: this (geometric) series is convergent, and its sum is 13\dfrac{1}{3}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 24번
# 비교 판정법증명·논술보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.CLP-2 · 3.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: ∑n=5∞1en\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}.

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: ∑n=5∞1en\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

∑n=5∞1en=∑n=5∞(1e)n=∑n=0∞(1e)n−∑n=04(1e)n=11−1e−1−(1e)51−1e=(1e)51−1e=1e5(1−1e)=1e5−e4\begin{aligned} \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}&=\sum_{n=5}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n-\sum_{n=0}^4 \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\dfrac{1}{1-\frac{1}{e}}-\dfrac{1-\left(\frac{1}{e}\right)^{5}}{1-\frac{1}{e}}\\ &=\dfrac{\left(\frac{1}{e}\right)^5}{1-\frac{1}{e}} =\dfrac{1}{e^5\left(1-\frac{1}{e}\right)}\\ &=\dfrac{1}{e^5-e^4} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

∑n=5∞1en=∑n=5∞(1e)n=∑n=0∞(1e)n−∑n=04(1e)n=11−1e−1−(1e)51−1e=(1e)51−1e=1e5(1−1e)=1e5−e4\begin{aligned} \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}&=\sum_{n=5}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n-\sum_{n=0}^4 \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\dfrac{1}{1-\frac{1}{e}}-\dfrac{1-\left(\frac{1}{e}\right)^{5}}{1-\frac{1}{e}}\\ &=\dfrac{\left(\frac{1}{e}\right)^5}{1-\frac{1}{e}} =\dfrac{1}{e^5\left(1-\frac{1}{e}\right)}\\ &=\dfrac{1}{e^5-e^4} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 34번
# 비교 판정법증명·논술보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)