매개변수 곡면 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.APEX · 14.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ 은 $-1\leq x\leq 1$ 과 $0\leq y\leq 2$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 중심이 $(1,2)$ 이고 반지름이 3인 원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,2)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 $x$ 축과 $y = 1-x^2$ 의 그래프로 유계인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $-1\leq x\leq 1$ and $0\leq y\leq 2$ . (b) $R$ is the circle of radius 3, centered at $(1,2)$ . (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,2)$ . (d) $R$ is the region bounded by the $x$ -axis and the graph of $y = 1-x^2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

2.APEX · 14.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 공간의 정의역 $D$ 가 주어진다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수화하세요.

$D$ 는 평면 $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

$z = \frac12(3-x)$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$ .

$x=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z = \frac12(3-x)$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ and $0\leq v\leq 2$ .

For $x=1$ : $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 1번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

3.APEX · 14.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 평면 $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=2x+4y-4$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

$y=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2x+4y-4$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

For $x=2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

4.APEX · 14.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $z=2y$ , $y=4-x^2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

$z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

5.APEX · 14.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$y=1-z^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $y=1-z^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $x=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 17번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

6.APEX · 14.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원기둥 $x+y^2/9=1$ 과 평면 $z=1$ , $z=3$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $x+y^2/9=1$ and the planes $z=1$ and $z=3$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x+y^2/9=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $1\leq v\leq 3$ .

$z=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=3$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x+y^2/9=1$ : $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $1\leq v\leq 3$ .

For $z=1$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=3$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

7.APEX · 14.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원뿔 $x^2+y^2=(z-1)^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cone $x^2+y^2=(z-1)^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x^2+y^2=(z-1)^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x^2+y^2=(z-1)^2$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 14.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 기둥면 $z=1-x^2$ 과 평면 $y=-1$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $z=1-x^2$ and the planes $y=-1$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

$y=-1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

For $y=-1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 14.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 포물면 $z=4-x^2-4y^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the paraboloid $z=4-x^2-4y^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=4-x^2-4y^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=4-x^2-4y^2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류