매개변수 곡면 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.APEX · 14.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ 은 $1\leq x\leq 4$ 와 $5\leq y\leq 7$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 원점을 중심으로 하고, 길이가 8인 장축은 $x$ 축에 평행하며 길이가 6인 단축은 $y$ 축에 평행한 타원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,2)$ , $(0,4)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원과 반지름 5인 원 사이로 유계인 원환이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $1\leq x\leq 4$ and $5\leq y\leq 7$ . (b) $R$ is the ellipse with major axis of length 8 parallel to the $x$ -axis, and minor axis of length 6 parallel to the $y$ -axis, centered at the origin. (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(2,2)$ and $(0,4)$ . (d) $R$ is the annulus bounded between the circles, centered at the origin, with radius 2 and radius 5.

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

2.APEX · 14.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the rectangle in space with corners at $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

3.APEX · 14.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the triangle in space with corners at $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

4.APEX · 14.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 타원체 $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the ellipsoid $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ with $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

5.APEX · 14.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $-1 \leq y \leq 5$ 에서 타원뿔 $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the elliptic cone $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ , for $-1 \leq y \leq 5$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 풀이는 $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one solution is $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

6.APEX · 14.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 직사각형 $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ 위에 놓인 평면 $z=2x+3y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=2x+3y$ over the rectangle $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 2\sqrt{14}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 2\sqrt{14}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 1번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

7.APEX · 14.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형 위에 놓인 평면 $z=x+2y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+2y$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = \sqrt{6}/2$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = \sqrt{6}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

8.APEX · 14.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the circular disk, centered at the origin, with radius 2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

9.APEX · 14.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 반지름이 2인 두 원으로 둘러싸인 고리 모양 영역 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the annulus bounded by the circles, centered at the origin, with radius 1 and radius 2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

10.APEX · 14.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 기술을 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원판 위에 있는 포물면 $z=x^2+y^2$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $z=x^2+y^2$ over the circular disk of radius 3 centered at the origin.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^3\int_0^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv= (37\sqrt{37}-1)\pi/6 \approx 117.319$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^3\int_0^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv= (37\sqrt{37}-1)\pi/6 \approx 117.319$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

11.APEX · 14.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 기술을 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ 인 삼각형 위에 있는 포물면 $z=x^2+y^2$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $z=x^2+y^2$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(0,1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$S = \int_0^1\int_0^1\sqrt{v^2+4u^2v^2+4v^4}\ du\ dv \approx 0.931$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = \int_0^1\int_0^1\sqrt{v^2+4u^2v^2+4v^4}\ du\ dv \approx 0.931$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

12.APEX · 14.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 계산 도구(공학 도구)를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 포물선 $y=1-x^2$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 영역 위에 있는 평면 $z=5x-y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the plane $z=5x-y$ over the region enclosed by the parabola $y=1-x^2$ and the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^1\int_{-1}^{1}\sqrt{(5u^2-2uv-5)^2+u^4+(1-u^2)^2}\ du\ dv \approx 7.084$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^1\int_{-1}^{1}\sqrt{(5u^2-2uv-5)^2+u^4+(1-u^2)^2}\ du\ dv \approx 7.084$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 5번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

13.APEX · 14.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세운 다음, 공학 도구를 사용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원판 위에 놓인 쌍곡 포물면 $z=x^2-y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the hyperbolic paraboloid $z=x^2-y^2$ over the circular disk of radius 1 centered at the origin.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^1\int_{0}^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv = (5\sqrt{5}-1)\pi/6 \approx 5.330$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^1\int_{0}^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv = (5\sqrt{5}-1)\pi/6 \approx 5.330$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

14.CLP-4 · 3.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$z=e^{x+1}+xy$ 로 주어진 곡면을 $x$ 와 $y$ 로 매개화하세요.

영어 원문 보기

Parametrize the surface given by $z=e^{x+1}+xy$ in terms of $x$ and $y$ .

정답·풀이 보기

이 매개화는 거의 자명하다. 매개화는 $\mathbf{r}(x,y)= \psi_1(x,y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \psi_2(x,y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ \psi_3(x,y)\hat{\mathbf{k}}$ 꼴이 됨을 알 수 있다. 여기서 $\psi_1$ 은 $x$ 성분(즉 $x$ )을, $\psi_2$ 는 $y$ 성분(즉 $y$ )을, $\psi_3$ 는 $z$ 성분(즉 $e^{x+1}+xy$ )을 나타낸다. 따라서 $\mathbf{r}(x,y)= x\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ (e^{x+1}+xy)\hat{\mathbf{k}}$

원본 교재 풀이(영어)

This parametrization is almost trivial. We know it will have the form $\mathbf{r}(x,y)= \psi_1(x,y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \psi_2(x,y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ \psi_3(x,y)\hat{\mathbf{k}}$ where $\psi_1$ gives the $x$ -component (i.e. $x$ ), $\psi_2$ gives the $y$ -component (i.e. $y$ ), and $\psi_3$ gives the $z$ -component (i.e. $e^{x+1}+xy$ ). So, $\mathbf{r}(x,y)= x\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ (e^{x+1}+xy)\hat{\mathbf{k}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산기본자동 분류

15.CLP-4 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 다음과 같이 주어진 곡면이라 하자.

$\mathbf{r}(u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2$

이 곡면은 여러분이 잘 아는 곡면이다. 이 곡면은 무엇인가요? (다음 중 한 곡면의 일부분일 수도 있다.)

구 나선면 타원면 안장면 포물면 그릇 모양 곡면 원기둥 원뿔 평면

영어 원문 보기

Let $S$ be the surface given by

$\mathbf{r}(u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2$

This is a surface you are familiar with. What surface is it (it may be just a portion of one of the following)?

sphere helicoid ellipsoid saddle parabolic bowl cylinder cone plane

정답·풀이 보기

주어진 매개화는

$\begin{aligned} x(u,v) &= u+v \\ y(u,v) &= u^2+v^2 \\ z(u,v) &= u-v \end{aligned}$

이다.

$x(u,v)$ 와 $z(u,v)$ 를 더하면 $x(u,v)+z(u,v) = 2u$ 이다.
$x(u,v)$ 에서 $z(u,v)$ 를 빼면 $x(u,v)-z(u,v) = 2v$ 이다.

따라서 $u=\frac{1}{2}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)$ 이고 $v=\frac{1}{2}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)$ 이다. 그러므로 이 곡면 위에서

$\begin{aligned} y(u,v) &= u^2+v^2 = \frac{1}{4}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)^2 +\frac{1}{4}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)^2 \\ &= \frac{1}{2} x(u,v)^2 + \frac{1}{2} z(u,v)^2 \end{aligned}$

이다.

이 곡면의 모든 점은 $2y= x^2+z^2$ 위에 있다. 이것은 포물면 그릇 모양 곡면이다.

$y<0$ 인 점은 없고
$y=Y$ ( $Y> 0$ ) 인 단면은 원 $x^2+z^2=2Y$ , $y=Y$ 이다.
$x=0$ 인 단면은 포물선 $2y=z^2$ , $x=0$ 이다.
$z=0$ 인 단면은 포물선 $2y=x^2$ , $z=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Our parametrization is

$\begin{aligned} x(u,v) &= u+v \\ y(u,v) &= u^2+v^2 \\ z(u,v) &= u-v \end{aligned}$

Adding $x(u,v)$ and $z(u,v)$ gives $x(u,v)+z(u,v) = 2u$ .
Subtracting $z(u,v)$ from $x(u,v)$ gives $x(u,v)-z(u,v) = 2v$ .

So $u=\frac{1}{2}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)$ and $v=\frac{1}{2}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)$ . So on our surface

$\begin{aligned} y(u,v) &= u^2+v^2 = \frac{1}{4}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)^2 +\frac{1}{4}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)^2 \\ &= \frac{1}{2} x(u,v)^2 + \frac{1}{2} z(u,v)^2 \end{aligned}$

All points of our surface lie on $2y= x^2+z^2$ . This is a parabolic bowl:

no points have $y<0$ and
the $y=Y$ (with $Y> 0$ ) cross-section is the circle $x^2+z^2=2Y$ , $y=Y$
the $x=0$ cross-section is the parabola $2y=z^2$ , $x=0$
the $z=0$ cross-section is the parabola $2y=x^2$ , $z=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 1번

# 매개변수 곡면계산기본자동 분류

16.CLP-4 · 3.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 쌍곡면 $x^2 + y^2 - 2z^2 = 1$ 의 일부로서 원기둥 $x^2 + y^2 = 9$ 의 내부에 있고 평면 $z = 1$ 의 위쪽에 있는 부분이라고 하자 (즉, $z \ge 1$ 인 부분).

다음 중 $S$ 의 매개변수화인 것을 모두 고르세요.

(a) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2 \le u^2+v^2 \le 9\ \big\}$ 이다. (b) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = u\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - u\cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다. (c) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\ \big\}$ 이다. (d) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다. (e) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다.

영어 원문 보기

Suppose $S$ is the part of the hyperboloid $x^2 + y^2 - 2z^2 = 1$ that lies inside the cylinder $x^2 + y^2 = 9$ and above the plane $z = 1$ (i.e. for which $z \ge 1$ ).

Which of the following are parameterizations of $S$ ?

(a) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2 \le u^2+v^2 \le 9\ \big\}$ . (b) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = u\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - u\cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ . (c) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\ \big\}$ . (d) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ . (e) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

$S$ 위에서 $x^2+y^2=1+2z^2$ 이므로, 조건 $z\ge 1$ 은 $x^2+y^2\ge 3$ , $z\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 쌍곡면은 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1+2z^2,\ 3\le x^2+y^2\le 9, z\ge 0\ \big\}$ 이다.

(a) 아니요. 이 매개변수화에서 조건 $3\le x^2+y^2\le 9$ 는 $3\le u^2+v^2\le 9$ 가 되므로, $2\le u^2+v^2\le 9$ 가 아니다.

(b) 예. 이 매개변수화에서 $x=u\sin v$ , $y=-u\cos v$ , $z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = u^2-2\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\right) = 1$ 이므로 바라던 식이 성립한다.
$u\ge 0$ 이므로 조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $u\le 3$ 과 같다.
$u\ge 0$ 이므로 조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $u\ge\sqrt{3}$ 과 같다.
$z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\ge 0$

(c) 예. 이 매개변수화에서 $x=\sqrt{1+2v^2}\cos u$ , $y=\sqrt{1+2v^2}\sin u$ , $z=v$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = 1+2v^2 -2v^2 = 1$ 이므로 원하는 대로 된다.
조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $1+2v^2\le 9$ 와 같고, $v\ge 0$ 이므로 이는 $v\le 2$ 와 같다.
조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $1+2v^2\ge 3$ 과 같고, $v\ge 0$ 이므로 이는 $v\ge 1$ 과 같다.
$z=v\ge 0$

(d) 예. 이 매개변수화에서 $x=\sqrt{1+u}\sin v$ , $y=\sqrt{1+u}\cos v$ , $z=\sqrt{u/2}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = 1+u -2(u/2) = 1$ 이므로 원하는 대로 된다.
조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $1+u\le 9$ 와 같고, 이는 $u\le 8$ 과 같다.
조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $1+u\ge 3$ 과 같고, 이는 $u\ge 2$ 와 같다.
$z=\sqrt{u/2}\ge 0$

(e) 아니요. 이 매개변수화에서 $x=\sqrt{u}\cos v$ , $y=-\sqrt{u}\sin v$ , $z=\sqrt{(u+1)/2}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = u -2(u+1)/2 = -1$ 이며, $+1$ 이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Note that, since $x^2+y^2=1+2z^2$ on $S$ , the condition $z\ge 1$ is equivalent to $x^2+y^2\ge 3$ , $z\ge 0$ . So the hyperboloid is $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1+2z^2,\ 3\le x^2+y^2\le 9, z\ge 0\ \big\}$ .

(a) No. Under this parametrization, the condition $3\le x^2+y^2\le 9$ is $3\le u^2+v^2\le 9$ , not $2\le u^2+v^2\le 9$ .

(b) Yes. Under this parametrization, $x=u\sin v$ , $y=-u\cos v$ and $z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = u^2-2\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\right) = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $u\le 3$ , since $u\ge 0$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $u\ge\sqrt{3}$ , since $u\ge 0$ .
$z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\ge 0$

(c) Yes. Under this parametrization, $x=\sqrt{1+2v^2}\cos u$ , $y=\sqrt{1+2v^2}\sin u$ and $z=v$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = 1+2v^2 -2v^2 = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $1+2v^2\le 9$ , which is equivalent to $v\le 2$ , since $v\ge 0$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $1+2v^2\ge 3$ , which is equivalent to $v\ge 1$ , since $v\ge 0$ .
$z=v\ge 0$

(d) Yes. Under this parametrization, $x=\sqrt{1+u}\sin v$ , $y=\sqrt{1+u}\cos v$ and $z=\sqrt{u/2}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = 1+u -2(u/2) = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $1+u\le 9$ , which is equivalent to $u\le 8$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $1+u\ge 3$ , which is equivalent to $u\ge 2$ .
$z=\sqrt{u/2}\ge 0$

(e) No. Under this parametrization, $x=\sqrt{u}\cos v$ , $y=-\sqrt{u}\sin v$ and $z=\sqrt{(u+1)/2}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = u -2(u+1)/2 = -1$ , not $+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 2번

# 매개변수 곡면계산보통자동 분류

17.CLP-4 · 3.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

곡면 $S$ 가 구면 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ 의 일부로서 원기둥 $x^2 + y^2 = 1$ 의 안쪽에 있고 $z \ge 0$ 인 부분이라고 하자. 다음 중 $S$ 의 매개변수화인 것을 모두 고르세요.

(a) $\mathbf{r}(\phi,\theta) = 2\sin \phi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\cos \phi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\sin \phi\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $0\le\theta\le2\pi$ (b) $\mathbf{r}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2-x^2-y^2}\,\hat{\mathbf{k}}$

$x^2+y^2\le 1$ (c) $\mathbf{r}(u,\theta) = u\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +u\cos \theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2-u^2}\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le u\le 2$ , $0\le\theta\le2\pi$ (d) $\mathbf{r}(\phi,\theta) = \sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2}\cos \phi\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $0\le\theta\le2\pi$ (e) $\mathbf{r}(\phi,z) = -\sqrt{2-z^2}\sin \phi\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sqrt{2-z^2}\cos \phi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le2\pi$ , $1\le z\le\sqrt{2}$

영어 원문 보기

Suppose the surface $S$ is the part of the sphere $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ that lies inside the cylinder $x^2 + y^2 = 1$ and for which $z \ge 0$ . Which of the following are parameterizations of $S$ ?

(a) $\mathbf{r}(\phi,\theta) = 2\sin \phi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\cos \phi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\sin \phi\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $0\le\theta\le2\pi$ (b) $\mathbf{r}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2-x^2-y^2}\,\hat{\mathbf{k}}$

$x^2+y^2\le 1$ (c) $\mathbf{r}(u,\theta) = u\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +u\cos \theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2-u^2}\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le u\le 2$ , $0\le\theta\le2\pi$ (d) $\mathbf{r}(\phi,\theta) = \sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{2}\cos \phi\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $0\le\theta\le2\pi$ (e) $\mathbf{r}(\phi,z) = -\sqrt{2-z^2}\sin \phi\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sqrt{2-z^2}\cos \phi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}}$

$0\le\phi\le2\pi$ , $1\le z\le\sqrt{2}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

(a) 아니요. $0 <\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $\pi < \theta <2\pi$ 일 때 $z=\sin\phi\sin \theta$ 는 음수이다.

(b) 예. $x^2+\big(-y\big)^2+\big(\sqrt{2-x^2-y^2}\big)^2=2$ 이고, $x^2+y^2\le 1$ 일 때 $x^2+(-y)^2\le 1$ 과 $\sqrt{2-x^2-y^2}\ge 0$ 이 모두 성립함에 주목한다.

(c) 아니요. $1<u\le 2$ 일 때 $(u\sin\theta)^2+(u\cos\theta)^2=u^2>1$ 이다. 또한 $\sqrt{2}<u\le 2$ 일 때 $\sqrt{2-u^2}$ 는 정의되지 않는다.

(d) 예. 다음에 주목한다.

$\big(\sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\big)^2 +\big(\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\big)^2 +\big(\sqrt{2}\cos \phi\big)^2=2$
$0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ 일 때 $z=\sqrt{2}\cos \phi>0$ 이다.
$\phi$ 가 $0$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변할 때 $r(\phi)=\sqrt{2}\sin\phi$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하므로, $\phi$ 가 $0$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지, $\theta$ 가 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변할 때 $\big(x=r(\phi)\cos\theta\,,\,y=r(\phi)\sin\theta\big)$ 는 $x^2+y^2\le1$ 전체를 덮는다.

(e) 예. 다음에 주목한다.

$\big(-\sqrt{2-z^2}\sin \phi\big)^2 +\big(\sqrt{2-z^2}\cos \phi\big)^2 +\big(z\big)^2=2$
$1\le z\le\sqrt{2}$ 일 때 당연히 $z>0$ 이다.
$z$ 가 $1$ 에서 $\sqrt{2}$ 까지 변할 때 $r(z)=\sqrt{2-z^2}$ 는 $1$ 에서 $0$ 까지 변하므로, $z$ 가 $1$ 에서 $\sqrt{2}$ 까지, $\phi$ 가 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변할 때 $\big(x=-r(z)\sin\phi\,,\,y=r(z)\cos\phi\big)$ 는 $x^2+y^2\le1$ 전체를 덮는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No. $z=\sin\phi\sin \theta$ is negative when $0 <\phi\le\frac{\pi}{4}$ , $\pi < \theta <2\pi$ .

(b) Yes. Note that $x^2+\big(-y\big)^2+\big(\sqrt{2-x^2-y^2}\big)^2=2$ and that, for $x^2+y^2\le 1$ , we have both $x^2+(-y)^2\le 1$ and $\sqrt{2-x^2-y^2}\ge 0$ .

(c) No. $(u\sin\theta)^2+(u\cos\theta)^2=u^2>1$ for $1<u\le 2$ . Also $\sqrt{2-u^2}$ is not defined for $\sqrt{2}<u\le 2$ .

(d) Yes. Note that

$\big(\sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\big)^2 +\big(\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\big)^2 +\big(\sqrt{2}\cos \phi\big)^2=2$
For $0\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ , we have $z=\sqrt{2}\cos \phi>0$ .
As $\phi$ runs from $0$ to $\frac{\pi}{4}$ , $r(\phi)=\sqrt{2}\sin\phi$ runs from $0$ to $1$ , so that $\big(x=r(\phi)\cos\theta\,,\,y=r(\phi)\sin\theta\big)$ covers all of $x^2+y^2\le1$ as $\phi$ runs from $0$ to $\frac{\pi}{4}$ and $\theta$ runs from $0$ to $2\pi$ .

(e) Yes. Note that

$\big(-\sqrt{2-z^2}\sin \phi\big)^2 +\big(\sqrt{2-z^2}\cos \phi\big)^2 +\big(z\big)^2=2$
For $1\le z\le\sqrt{2}$ , we have obviously have $z>0$ .
As $z$ runs from $1$ to $\sqrt{2}$ , $r(z)=\sqrt{2-z^2}$ runs from $1$ to $0$ , so that $\big(x=-r(z)\sin\phi\,,\,y=r(z)\cos\phi\big)$ covers all of $x^2+y^2\le1$ as $z$ runs from $1$ to $\sqrt{2}$ and $\phi$ runs from $0$ to $2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 1번

# 매개변수 곡면계산보통자동 분류

18.CLP-4 · 3.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 포물면 $z + x^2 + y^2 = 4$ 의 일부로서 평면 $z = 0$ 과 $z = 1$ 사이에 놓인 부분이라고 하자. 다음 각각이 곡면 $S$ 를 올바르게 매개화하는지 판단하세요.

(a) $\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 - v^2)\,\hat{\mathbf{k}}$ , $0 \le u^2 + v^2 \le 1$ (b) $\mathbf{r}(u,v) = (\sqrt{4-u}\,\cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (\sqrt{4-u}\, \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + u\,\hat{\mathbf{k}}$ ,

$0 \le u \le 1$ , $0 \le v \le 2\pi$ (c) $\mathbf{r}(u, v) = (u \cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (u \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 )\,\hat{\mathbf{k}}$ , $\sqrt{3} \le u \le 2$ , $0 \le v \le 2\pi$

영어 원문 보기

Let $S$ be the part of the paraboloid $z + x^2 + y^2 = 4$ lying between the planes $z = 0$ and $z = 1$ . For each of the following, indicate whether or not it correctly parameterizes the surface $S$ .

(a) $\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 - v^2)\,\hat{\mathbf{k}}$ , $0 \le u^2 + v^2 \le 1$ (b) $\mathbf{r}(u,v) = (\sqrt{4-u}\,\cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (\sqrt{4-u}\, \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + u\,\hat{\mathbf{k}}$ ,

$0 \le u \le 1$ , $0 \le v \le 2\pi$ (c) $\mathbf{r}(u, v) = (u \cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (u \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 )\,\hat{\mathbf{k}}$ , $\sqrt{3} \le u \le 2$ , $0 \le v \le 2\pi$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 아니요. $u=v=0$ 일 때 $z=4$ 는 $0$ 과 $1$ 사이에 있지 않다.

(b) 예. $x=\sqrt{4-u}\,\cos v$ , $y=\sqrt{4-u}\,\sin v$ , $z= u$ 이고 $0 \le u \le 1$ , $0 \le v \le 2\pi$ 일 때 다음이 성립한다.

$z+x^2+y^2=4$
$0\le z=u\le 1$
$0$ 과 $1$ 사이의 각각의 고정된 $z=u$ 에 대해, $v$ 가 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변할 때 $(x,y)$ 는 원 $x^2+y^2 =4-z =4-u$ 를 꼭 한 바퀴 돈다.

(c) 예. $x=u\,\cos v$ , $y=u\,\sin v$ , $z= 4-u^2$ 이고 $\sqrt{3} \le u \le 2$ , $0 \le v \le 2\pi$ 일 때 다음이 성립한다.

$z+x^2+y^2=4$
$0\le z=4-u^2\le 1$
$0$ 과 $1$ 사이의 각각의 고정된 $z=4-u^2$ 에 대해, $v$ 가 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변할 때 $(x,y)$ 는 원 $x^2+y^2 =4-z =u^2$ 을 꼭 한 바퀴 돈다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No. When $u=v=0$ , $z=4$ is not between $0$ and $1$ .

(b) Yes. Note that when $x=\sqrt{4-u}\,\cos v$ , $y=\sqrt{4-u}\,\sin v$ and $z= u$ with $0 \le u \le 1$ , $0 \le v \le 2\pi$ ,

$z+x^2+y^2=4$
$0\le z=u\le 1$
For each fixed $z=u$ between $0$ and $1$ , $(x,y)$ runs once around the circle $x^2+y^2 =4-z =4-u$ as $v$ runs from $0$ to $2\pi$ .

(c) Yes. Note that when $x=u\,\cos v$ , $y=u\,\sin v$ and $z= 4-u^2$ , with $\sqrt{3} \le u \le 2$ , $0 \le v \le 2\pi$

$z+x^2+y^2=4$
$0\le z=4-u^2\le 1$
For each fixed $z=4-u^2$ between $0$ and $1$ , $(x,y)$ runs once around the circle $x^2+y^2 =4-z =u^2$ as $v$ runs from $0$ to $2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산보통자동 분류

19.CLP-4 · 3.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

$S_1$ 은 방정식 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (단, $z\ge 0$ )로 주어지는 반구이다.
$S_2$ 는 방정식 $x^2 + y^2 = 1$ 로 주어지는 원기둥이다.
$S_3$ 은 방정식 $z^2 = x^2 + y^2$ (단, $z\ge 0$ )로 주어지는 원뿔이다.

다음의 매개변수 표현을 생각하세요.

A. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6$ B. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4$ C. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3$ D. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2$ E. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2$ F. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2$ G. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1$ H. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2}$ I. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3}$ J. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 1$ K. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le \sqrt{2}$ L. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 2$

다음 각각에 대해, 위의 매개변수 표현 중에서 주어진 곡면의 올바른 매개변수 표현을 모두 고르세요. 각 곡면에 대해 올바른 매개변수 표현이 하나 이상 있을 수 있으며, 위의 매개변수 표현이 모두 사용되는 것은 아님에 유의하세요.

(a) $S_1$ 중에서 $S_2$ 의 안쪽에 있는 부분: (b) $S_1$ 중에서 $S_3$ 의 안쪽에 있는 부분: (c) $S_3$ 중에서 $S_2$ 의 안쪽에 있는 부분: (d) $S_3$ 중에서 $S_1$ 의 안쪽에 있는 부분:

영어 원문 보기

Consider the following surfaces

$S_1$ is the hemisphere given by the equation $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ with $z\ge 0$ .
$S_2$ is the cylinder given by the equation $x^2 + y^2 = 1$ .
$S_3$ is the cone given by the equation $z^2 = x^2 + y^2$ with $z\ge 0$ .

Consider the following parameterizations:

A. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6$ B. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4$ C. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3$ D. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2$ E. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2$ F. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2$ G. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1$ H. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2}$ I. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3}$ J. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 1$ K. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le \sqrt{2}$ L. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 2$

For each of the following, choose from above all of the valid parameterization of each of the given surfaces. Note that there may be one or more valid parameterization for each surface, and not necessarily all of the above parameterizations will be used.

(a) The part of $S_1$ contained inside $S_2$ : (b) The part of $S_1$ contained inside $S_3$ : (c) The part of $S_3$ contained inside $S_2$ : (d) The part of $S_3$ contained inside $S_1$ :

정답·풀이 보기

먼저 다음에 유의한다.

A, B, C에서 $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, \phi)^2+ y(\theta, \phi)^2+z(\theta, \phi)^2 = 4$

를 만족하므로 $S_1$ 위에 있다.

D, E, F에서 $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=4-z(\theta, z)^2$

을 만족하므로 $S_1$ 위에 있다.

G, H, I에서 $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=z(\theta, z)^2$

을 만족하므로 $S_3$ 위에 있다.

J, K, L에서 $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(x, y)^2+ y(x, y)^2=z(x, y)^2$

을 만족하므로 $S_3$ 위에 있다.

(a) $S_1$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,\phi)\ge 0$ 이므로 $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le 1 &\iff 4\sin^2\phi \le 1 \iff \sin\phi \le \frac{1}{2} \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{6} \end{aligned}$

이어야 한다.

D, E, F의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,z)\ge 0$ 이므로 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff 4-z^2 \le 1 \iff z \ge \sqrt{3} \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 A와 F가 알맞다.

(b) $S_1$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,\phi)\ge 0$ 이므로 $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le z(\theta,\phi)^2 &\iff 4\sin^2\phi \le 4\cos^2\phi \iff \tan\phi \le 1 \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{4} \end{aligned}$

이어야 한다.

D, E, F의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,z)\ge 0$ 이므로 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le z(\theta, z)^2 &\iff 4-z^2 \le z^2 \iff z \ge \sqrt{2} \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 B와 E가 알맞다.

(c) $S_3$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_3$ 의 모든 점에서 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff z^2 \le 1 \iff 0\le z\le 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

J, K, L의 경우, $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 \le 1 &\iff x^2+y^2 \le 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 G와 J가 알맞다.

(d) $S_3$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_1$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_3$ 의 모든 점에서 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2+ z(\theta, z)^2 \le 4 &\iff 2z^2 \le 4 \iff 0\le z\le \sqrt{2} \end{aligned}$

이어야 한다.

J, K, L의 경우, $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 + z(x, y)^2 \le 4 &\iff 2x^2+2y^2 \le 4 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 H와 L이 알맞다.

원본 교재 풀이(영어)

First note that,

for A, B and C, $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ obeys

$x(\theta, \phi)^2+ y(\theta, \phi)^2+z(\theta, \phi)^2 = 4$

and so lies on $S_1$

for D, E and F, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ obeys

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=4-z(\theta, z)^2$

and so lies on $S_1$

for G, H and I, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ obeys

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=z(\theta, z)^2$

and so lies on $S_3$

for J, K and L, $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ obeys

$x(x, y)^2+ y(x, y)^2=z(x, y)^2$

and so lies on $S_3$

(a) To get a part of $S_1$ , we need to use one of the parametrizations A, B, C, D, E, F. In the cases of A, B, C, for $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_2$ we need (recalling that all points of $S_1$ have $z(\theta,\phi)\ge 0$ and hence $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ )

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le 1 &\iff 4\sin^2\phi \le 1 \iff \sin\phi \le \frac{1}{2} \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{6} \end{aligned}$

In the cases of D, E, F, for $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_2$ we need (recalling that all points of $S_1$ have $z(\theta,z)\ge 0$ and hence $z\ge 0$ )

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff 4-z^2 \le 1 \iff z \ge \sqrt{3} \end{aligned}$

So parametrizations A and F work.

(b) To get a part of $S_1$ , we need to use one of the parametrizations A, B, C, D, E, F. In the cases of A, B, C, for $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_3$ we need (recalling that all points of $S_1$ have $z(\theta,\phi)\ge 0$ and hence $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ )

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le z(\theta,\phi)^2 &\iff 4\sin^2\phi \le 4\cos^2\phi \iff \tan\phi \le 1 \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{4} \end{aligned}$

In the cases of D, E, F, for $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_3$ we need (recalling that all points of $S_1$ have $z(\theta,z)\ge 0$ and hence $z\ge 0$ )

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le z(\theta, z)^2 &\iff 4-z^2 \le z^2 \iff z \ge \sqrt{2} \end{aligned}$

So parametrizations B and E work.

(c) To get a part of $S_3$ , we need to use one of the parametrizations G, H, I, J, K, L. In the cases of G, H, I, for $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_2$ we need (recalling that all points of $S_3$ have $z\ge 0$ )

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff z^2 \le 1 \iff 0\le z\le 1 \end{aligned}$

In the cases of J, K, L, for $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_3$ we need

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 \le 1 &\iff x^2+y^2 \le 1 \end{aligned}$

So parametrizations G and J work.

(d) To get a part of $S_3$ , we need to use one of the parametrizations G, H, I, J, K, L. In the cases of G, H, I, for $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_1$ we need (recalling that all points of $S_3$ have $z\ge 0$ )

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2+ z(\theta, z)^2 \le 4 &\iff 2z^2 \le 4 \iff 0\le z\le \sqrt{2} \end{aligned}$

In the cases of J, K, L, for $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ to lie inside $S_3$ we need

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 + z(x, y)^2 \le 4 &\iff 2x^2+2y^2 \le 4 \end{aligned}$

So parametrizations H and L work.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 5번

# 매개변수 곡면계산도전자동 분류

20.CLP-4 · 3.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 과 $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ 이 $(0,0,0)$ 에서 서로 접한다고 말하는 것이 타당한가요?

영어 원문 보기

Is it reasonable to say that the surfaces $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ and $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ are tangent to each other at $(0,0,0)$ ?

정답·풀이 보기

$F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ , $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ 이라 쓰자. 곡면 $F(x,y,z)=0$ 을 $S_1$ , 곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S_2$ 라 하자. 먼저 $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ 이므로 점 $(0,0,0)$ 은 $S_1$ 과 $S_2$ 위에 모두 놓여 있다. $F$ 와 $G$ 의 기울기벡터는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right) =\left( 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right) \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left(\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right) =\left( 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right) \end{aligned}$

특히,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left( 0,0,-2\right)\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left( 0,0,2\right)$

이므로 벡터 $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ 은 $(0,0,0)$ 에서 두 곡면에 모두 수직이다. 따라서 $(0,0,0)$ 에서 $S_1$ 과 $S_2$ 모두에 접하는 접평면은

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left(x-0,y-0,z-0\right)=0\qquad\text{또는}\qquad z=0$

이다.

평면 $z=0$ 을 $P$ 라 하자. 그러면 $S_1$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $P$ 에 접하고, $P$ 는 $(0,0,0)$ 에서 $S_2$ 에 접한다. 따라서 $S_1$ 과 $S_2$ 가 $(0,0,0)$ 에서 접한다고 말하는 것은 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ and $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ . Let $S_1$ denote the surface $F(x,y,z)=0$ and $S_2$ denote the surface $G(x,y,z)=0$ . First note that $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ so that the point $(0,0,0)$ lies on both $S_1$ and $S_2$ . The gradients of $F$ and $G$ are

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right) =\left( 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right) \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left(\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right) =\left( 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right) \end{aligned}$

In particular,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left( 0,0,-2\right)\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left( 0,0,2\right)$

so that the vector $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ is normal to both surfaces at $(0,0,0)$ . So the tangent plane to both $S_1$ and $S_2$ at $(0,0,0)$ is

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left(x-0,y-0,z-0\right)=0\qquad\text{or}\qquad z=0$

Denote by $P$ the plane $z=0$ . Thus $S_1$ is tangent to $P$ at $(0,0,0)$ and $P$ is tangent to $S_2$ at $(0,0,0)$ . So it is reasonable to say that $S_1$ and $S_2$ are tangent at $(0,0,0)$ .

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# 매개변수 곡면계산기본자동 분류