직선과 평면의 방정식 연습문제

1.CLP-3 · 1.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

영어 원문 보기

Two points determine a line. Verify that the equations

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ and $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

describe the same line by finding two different points that lie on both lines.

정답·풀이 보기

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is one answer of many.

Setting $t=0$ in the first equation shows that $(1,9)$ is on the first line. To see that $(1,9)$ is also on the second line, we substitute $x=1$ , $y=9$ into the second equation to give

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{or}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

This equation is satisfied when $t=-8$ . So $(1,9)$ is on both lines.

Setting $t=0$ in the second equation shows that $(9,13)$ is on the second line. To see that $(9,13)$ is also on the first line, we substitute $x=9$ , $y=13$ into the first equation to give

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{or}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

This equation is satisfied when $t=1$ . So $(9,13)$ is on both lines.

Since both lines pass through $(1,9)$ and $(9,13)$ , the lines are identical.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 19번

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