직선과 평면의 방정식 연습문제

1.OpenStax 3권 · 2.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

두 점 $P(3,1,0)$ 과 $Q(1,4,-3)$ 을 지나는 직선이 방정식 $x = 3 + 3t, y = 1 + 8t, z = 6t,$ $t\in \mathbb{R}$ 로 주어진 직선과 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the line passing through points $P(3,1,0)$ and $Q(1,4,-3)$ is perpendicular to the line with equations $x = 3 + 3t, y = 1 + 8t, z = 6t,$ $t\in \mathbb{R}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 8번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

2.OpenStax 3권 · 2.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 평면의 방정식이 주어졌습니다.

a. 평면의 법선 벡터 $\text{n}$ 을 구하세요. $\text{n}$ 을 표준 단위벡터로 나타내세요. b. 평면과 좌표축의 교점을 구하세요. c. 평면의 그래프를 그리세요.

직선 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ 이 평면 $x-2y+z=6$ 과 평행임을 보이세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a plane is given.

a. Find normal vector $\text{n}$ to the plane. Express $\text{n}$ using standard unit vectors. b. Find the intersections of the plane with the coordinate axes. c. Sketch the plane.

Show that line $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ is parallel to plane $x-2y+z=6.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.5절 · 4번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

3.OpenStax 3권 · 2.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x+y+z=1$ 과 $x+z=0$ 인 두 평면을 생각하세요.

a. 두 평면이 만남을 보이세요. b. 점 $P(1,4,6)$ 을 지나고 두 평면의 교선과 평행한 직선의 대칭방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the planes of equations $x+y+z=1$ and $x+z=0.$

a. Show that the planes intersect. b. Find symmetric equations of the line passing through point $P(1,4,6)$ that is parallel to the line of intersection of the planes.

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. $\frac{x-1}{1}=\frac{z-6}{-1},y=4$

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. $\frac{x-1}{1}=\frac{z-6}{-1},y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 9번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

4.OpenStax 3권 · 2.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

방정식이 $-y+z-2=0$ 과 $x-y=0$ 인 두 평면을 생각하세요.

a. 두 평면이 만남을 보이세요. b. 점 $P(-8,0,2)$ 를 지나고 두 평면의 교선과 평행한 직선의 매개변수방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the planes of equations $-y+z-2=0$ and $x-y=0.$

a. Show that the planes intersect. b. Find parametric equations of the line passing through point $P(-8,0,2)$ that is parallel to the line of intersection of the planes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 2번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

5.OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x=t,y=1+t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선과 $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=z-3$ 인 직선이 꼬인 위치에 있음을 보이고, 두 직선 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the lines of equations $x=t,y=1+t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R},$ and $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=z-3$ are skew, and find the distance between them.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 23번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

6.OpenStax 3권 · 2.5절 · 54번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x=-1+t,y=-2+t,z=3t,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선과 $x=5+s,y=-8+2s,z=7s,$ $s\in \mathbb{R}$ 인 직선이 꼬인 위치에 있음을 보이고, 두 직선 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the lines of equations $x=-1+t,y=-2+t,z=3t,$ $t\in \mathbb{R},$ and $x=5+s,y=-8+2s,z=7s,$ $s\in \mathbb{R}$ are skew, and find the distance between them.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

7.OpenStax 3권 · 2.5절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 태양광 패널이 집 지붕에 설치되어 있다. 이 패널은 좌표(단위: m)가 $A(8,0,0),$ $B(8,18,0),$ $C(0,18,8)$ , 그리고 $D(0,0,8)$ 인 점들에 놓여 있다고 볼 수 있다(다음 그림 참조).

이 그림은 지붕 위에 있는 직사각형 태양광 패널을 나타낸 것이다. 직사각형의 꼭짓점은 A, B, C, D로 표시되어 있다. 두 개의 벡터가 있는데, 첫째는 A에서 D로 향하는 벡터이고, 둘째는 A에서 B로 향하는 벡터이다.

a. 점 $A,B,\,\text{그리고}\,C$ 를 이용하여 태양광 패널을 포함하는 평면의 방정식의 일반형을 구하고, 그 평면의 법선 벡터가 $\vec{AB}\,\times \,\vec{AD}$ 와 같음을 보이세요. b. 태양광 패널의 중심을 지나고 방향 벡터가 $\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k}$ 인 직선 ${L}_{1}$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 이 방향 벡터는 하루 중 특정 시각의 태양 위치를 향한다. c. 태양광 패널의 중심을 지나고 패널에 수직인 직선 ${L}_{2}$ 의 대칭 방정식을 구하세요. d. 직선 ${L}_{1}$ 과 ${L}_{2}$ 사이의 각을 이용하여 태양광 패널에 대한 태양의 고도각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A solar panel is mounted on the roof of a house. The panel may be regarded as positioned at the points of coordinates (in meters) $A(8,0,0),$ $B(8,18,0),$ $C(0,18,8),$ and $D(0,0,8)$ (see the following figure).

This figure is a picture of a rectangular solar grid on a roof. The corners of the rectangle are labeled A, B, C, D. There are two vectors, the first is from A to D. The second is from A to B.

a. Find the general form of the equation of the plane that contains the solar panel by using points $A,B,\,\text{and}\,C,$ and show that its normal vector is equivalent to $\vec{AB}\,\times \,\vec{AD}.$ b. Find parametric equations of line ${L}_{1}$ that passes through the center of the solar panel and has direction vector $\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k},$ which points toward the position of the Sun at a particular time of day. c. Find symmetric equations of line ${L}_{2}$ that passes through the center of the solar panel and is perpendicular to it. d. Determine the angle of elevation of the Sun above the solar panel by using the angle between lines ${L}_{1}$ and ${L}_{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

8.CLP-3 · 1.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

영어 원문 보기

Two points determine a line. Verify that the equations

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ and $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

describe the same line by finding two different points that lie on both lines.

정답·풀이 보기

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is one answer of many.

Setting $t=0$ in the first equation shows that $(1,9)$ is on the first line. To see that $(1,9)$ is also on the second line, we substitute $x=1$ , $y=9$ into the second equation to give

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{or}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

This equation is satisfied when $t=-8$ . So $(1,9)$ is on both lines.

Setting $t=0$ in the second equation shows that $(9,13)$ is on the second line. To see that $(9,13)$ is also on the first line, we substitute $x=9$ , $y=13$ into the first equation to give

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{or}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

This equation is satisfied when $t=1$ . So $(9,13)$ is on both lines.

Since both lines pass through $(1,9)$ and $(9,13)$ , the lines are identical.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 19번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술기본자동 분류

9.CLP-3 · 1.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

$P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 를 사면체의 꼭짓점이라 하자. 원점에서 $P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 까지의 벡터를 각각 $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 라 하자. 각 꼭짓점에서 그 마주 보는 면의 무게중심까지 직선을 그린다. 여기서 꼭짓점이 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 인 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. 이 네 직선이 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ) 에서 만남을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $P,\ Q,\ R$ and $S$ be the vertices of a tetrahedron. Denote by $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ the vectors from the origin to $P,\ Q,\ R$ and $S$ respectively. A line is drawn from each vertex to the centroid of the opposite face, where the centroid of a triangle with vertices $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . Show that these four lines meet at $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ).

정답·풀이 보기

$\mathbf{p}$ 의 맞은편 면은 꼭짓점이 $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 인 삼각형이다. 이 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선의 방향 벡터는 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선 위의 점은 어떤 실수 $t$ 에 대해 다음 꼴이다.

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 직선 위에 있다. 나머지 세 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 세 식의 우변도 각각 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 가 되므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 세 직선 위에도 각각 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The face opposite $\mathbf{p}$ is the triangle with vertices $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ . The centroid of this triangle is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ . The direction vector of the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ . The points on the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ are those of the form

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

for some real number $t$ . Observe that when $t=\frac{3}{4}$ $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is on the line. The other three lines have vector parametric equations

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

When $t=\frac{3}{4}$ , each of the three right hand sides also reduces to $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is also on each of these three lines.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 13번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술도전자동 분류