문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

이차곡면과 곡면 그리기

원기둥면·타원면·포물면·쌍곡면 등 곡면의 단면과 모양을 알아본다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

$f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 의 “등고선 지도”를 그리되, 나타나는 등위곡선의 종류를 모두 보이세요.

영어 원문 보기

Draw a “contour map” of $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ , showing all types of level curves that occur.

정답·풀이 보기

임의의 상수 $C$ 에 대해 곡선 $-x^2+4y^2=C$ 는 등위곡선 $f=e^C$ 임에 주목하자.

$C=0$ 이면 $-x^2+4y^2=C=0$ 은 두 직선 $y=\pm\frac{x}{2}$ 이다.
$C>0$ 이면 $-x^2+4y^2=C>0$ 은 쌍곡선 $y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}$ 이다.
$C<0$ 이면 $-x^2+4y^2=C<0$ 은 쌍곡선 $x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Observe that, for any constant $C$ , the curve $-x^2+4y^2=C$ is the level curve $f=e^C$ .

If $C=0$ , then $-x^2+4y^2=C=0$ is the pair of lines $y=\pm\frac{x}{2}$ .
If $C>0$ , then $-x^2+4y^2=C>0$ is the hyperbola $y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}$ .
If $C<0$ , then $-x^2+4y^2=C<0$ is the hyperbola $x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 7번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산보통자동 분류

2.CLP-3 · 1.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 등위면을 설명하세요.

(a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (b) $f(x,y,z)=x+2y+3z$ (c) $f(x,y,z)=x^2+y^2$

영어 원문 보기

Describe the level surfaces of

(a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (b) $f(x,y,z)=x+2y+3z$ (c) $f(x,y,z)=x^2+y^2$

정답·풀이 보기

(a) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2+z^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 원점 하나뿐이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

(b) $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x+2y+3z=c$ 는 $(1,2,3)$ 에 수직이고 $(c,0,0)$ 을 지나는 평면이다.

(c) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2=c$ 는 $z$ 축에 평행한 원기둥이고, 그 단면은 $xy$ 평면에 평행하며 $z$ 축 위에 중심이 있는 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 원이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 $z$ 축이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $c>0$ , $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x^2+y^2+z^2=c$ , is the sphere of radius $\sqrt{c}$ centered at the origin. If $c=0$ , $f(x,y,z)=c$ is just the origin. If $c<0$ , no $(x,y,z)$ satisfies $f(x,y,z)=c$ .

(b) $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x+2y+3z=c$ , is the plane normal to $(1,2,3)$ passing through $(c,0,0)$ .

(c) If $c>0$ , $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x^2+y^2=c$ , is the cylinder parallel to the $z$ -axis whose cross-section is a circle of radius $\sqrt{c}$ that is parallel to the $xy$ -plane and is centered on the $z$ -axis. If $c=0$ , $f(x,y,z)=c$ is the $z$ -axis. If $c<0$ , no $(x,y,z)$ satisfies $f(x,y,z)=c$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 13번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산보통자동 분류