단위접선·법선벡터 연습문제

1.CLP-4 · 1.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 삼차원 곡선과 한 점에서의 접촉원(밀착원)을 그린 것이다. 이 그림에 $\hat{\mathbf{T}}$ 와 $\hat{\mathbf{N}}$ 을 표시하세요. $\hat{\mathbf{B}}$ 는 종이 밖으로 독자 쪽을 향하나요, 아니면 종이 안으로 독자에게서 멀어지는 쪽을 향하나요?

영어 원문 보기

In the sketch below of a three-dimensional curve and its osculating circle at a point, label $\hat{\mathbf{T}}$ and $\hat{\mathbf{N}}$ . Will $\hat{\mathbf{B}}$ be pointing out of the paper towards the reader, or into the paper away from the reader?

정답·풀이 보기

$\hat{\mathbf{T}}$ 는 곡선에 접하고, $\hat{\mathbf{N}}$ 은 곡선에 수직이다.

오른손 법칙과 $\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 을 이용하면 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 종이 밖(독자 쪽)을 향한다.

이를 확인하려면, 오른손의 네 손가락을 $\hat{\mathbf{T}}$ 의 방향으로 향한 뒤 $\hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이 될 때까지 안쪽으로 감아 쥔다. 이렇게 하려면 엄지손가락이 자신에게서 멀어지는 쪽이 아니라 자신을 향해야 한다. 엄지손가락이 가리키는 방향이 $\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\hat{\mathbf{T}}$ is tangent to the curve, while $\hat{\mathbf{N}}$ is perpendicular to it.

Using the right-hand rule and $\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ , $\hat{\mathbf{B}}$ points out of the page (towards the reader).

To see this, point the fingers of your right hand in the direction of $\hat{\mathbf{T}}$ , and curl them inwards until they are in the direction of $\hat{\mathbf{N}}$ . To do this, your thumb must be pointing towards you, not away from you. Your thumb shows the direction of $\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 2번

# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-4 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

공식 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ 에서 $s$ 는 속력을 뜻하나요, 아니면 호의 길이를 뜻하나요?

영어 원문 보기

In the formula $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ does $s$ stand for speed, or for arclength?

정답·풀이 보기

이 식에서 $s$ 는 호의 길이를 뜻한다.

$t$ 에서 $t+h$ 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 $s(t+h)-s(t)$ 는 근사적으로 $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ 이다. 따라서 $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ 이고, 이로부터 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 $v$ 로 나타낸다. 즉 $v=|\mathbf{v}(t)|$ 이다. 이 때문에 $s$ 는 호의 길이를, $v$ 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

In this equation, $s$ stands for arclength.

When we take a very small interval from $t$ to $t+h$ , the change in arclength $s(t+h)-s(t)$ is approximately $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ , because our curve is approximated by a straight line. So, $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ , leading to $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ .

The magnitude of velocity is speed; in this text we generally call this $v$ . That is, $v=|\mathbf{v}(t)|$ . This leads to the potentially confusing (but standard) convention that $s$ stands for arclength, while $v$ stands for speed.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 31번

# 단위접선·법선벡터활용기본자동 분류

3.CLP-4 · 1.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

호의 길이 $s$ 로 매개화된 곡선을 생각하세요.

(a) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)=0$ 이면 이 곡선은 직선임을 보이세요. (b) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)>0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 한 평면 위에 놓여 있음을 보이세요. (c) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 양의 상수 $\kappa (s)=\kappa _0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 원임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider a curve that is parametrized by arc length $s$ .

(a) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=0$ for all $s$ , then the curve is a straight line. (b) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)>0$ and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve lies in a plane. (c) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=\kappa _0$ , a strictly positive constant, and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve is a circle.

정답·풀이 보기

(a) $\kappa (s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{T}}$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ 이므로, 이 곡선은 방향 벡터가 $\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나는 직선이다.

(b) $\tau(s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이다. $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

이고, $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 0이어야 하므로( $s=0$ 을 대입), $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ 이고 $\mathbf{r}(s)$ 는 항상 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나고 법선 벡터가 $\hat{\mathbf{B}}$ 인 평면 위에 놓인다.

(c) 곡선을 호의 길이로 매개화한다. $s$ 에서의 "곡률 중심"을 다음과 같이 정의한다.

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

$\kappa (s)=\kappa _0$ 는 상수이고 $\tau(s)\equiv 0$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$

이다. 따라서 $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ 는 상수이고, $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ 이므로 곡선은 중심이 $\mathbf{r}_c$ 이고 반지름이 $\frac{1}{\kappa _0}$ 인 구 위에 놓인다. $\tau(s)\equiv 0$ 이므로 곡선은 한 평면 위에도 놓이고, 따라서 이 곡선은 원이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $\kappa (s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{T}}$ is a constant. As a result $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ and $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ so that the curve is the straight line with direction vector $\hat{\mathbf{T}}$ that passes through $\mathbf{r}(0)$ .

(b) If $\tau(s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{B}}$ is a constant. As $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

and $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ must be a constant. The constant must be zero (set $s=0$ ), so $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ and $\mathbf{r}(s)$ always lies in the plane through $\mathbf{r}(0)$ with normal vector $\hat{\mathbf{B}}$ .

(c) Parametrize the curve by arc length. Define the “centre of curvature” at $s$ by

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

Since $\kappa (s)=\kappa _0$ is a constant and $\tau(s)\equiv 0$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$

Thus $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ is a constant and $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ lies on the sphere of radius $\frac{1}{\kappa _0}$ centred on $\mathbf{r}_c$ . Since $\tau(s)\equiv 0$ , the curve also lies on a plane, so it is a circle.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 6번

# 단위접선·법선벡터증명·논술기본자동 분류