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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

단위접선·법선벡터

단위접선벡터, 주법선벡터, 종법선벡터와 접촉평면을 구한다

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2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

공식 dsdt(t)=∣v(t)∣=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)| 에서 ss 는 속력을 뜻하나요, 아니면 호의 길이를 뜻하나요?

영어 원문 보기

In the formula dsdt(t)=∣v(t)∣=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)| does ss stand for speed, or for arclength?

정답·풀이 보기

이 식에서 ss 는 호의 길이를 뜻한다.

tt 에서 t+ht+h 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 s(t+h)−s(t)s(t+h)-s(t) 는 근사적으로 ∣r(t+h)−r(t)∣|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)| 이다. 따라서 s(t+h)−s(t)h≈∣r(t+h)−r(t)∣h\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h} 이고, 이로부터 dsdt=∣drdt∣=∣v(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)| 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 vv 로 나타낸다. 즉 v=∣v(t)∣v=|\mathbf{v}(t)| 이다. 이 때문에 ss 는 호의 길이를, vv 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

In this equation, ss stands for arclength.

When we take a very small interval from tt to t+ht+h, the change in arclength s(t+h)−s(t)s(t+h)-s(t) is approximately ∣r(t+h)−r(t)∣|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|, because our curve is approximated by a straight line. So, s(t+h)−s(t)h≈∣r(t+h)−r(t)∣h\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}, leading to dsdt=∣drdt∣=∣v(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|.

The magnitude of velocity is speed; in this text we generally call this vv. That is, v=∣v(t)∣v=|\mathbf{v}(t)|. This leads to the potentially confusing (but standard) convention that ss stands for arclength, while vv stands for speed.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 31번
# 단위접선·법선벡터활용기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-4 · 1.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

두 언덕 사이의 경주 트랙이 매개변수 곡선

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ)),0≤θ≤2π\mathbf{r}(\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi

로 나타내어진다.

(a) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 트랙의 곡률을 구하세요. (b) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 굽은 부분을 가장 잘 근사하는 원의 반지름(즉, 그 점에서의 접촉원의 반지름)을 구하세요. (c) 자동차가 트랙을 따라 달리며, 시각 tt 에서의 위치가 r(t2)\mathbf{r}(t^2) 으로 주어진다. (tt 와 θ\theta 의 관계는 θ=t2\theta = t^2 임에 유의하세요.) 다음 양을 구하세요.

(i) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서의 속력 (ii) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서의 가속도 (iii) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 가속도의 법선 성분의 크기

영어 원문 보기

A race track between two hills is described by the parametric curve

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ)),0≤θ≤2π\mathbf{r}(\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi

(a) Compute the curvature of the track at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (b) Compute the radius of the circle that best approximates the bend at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) (that is, the radius of the osculating circle at that point). (c) A car drives down the track so that its position at time tt is given by r(t2)\mathbf{r}(t^2). (Note the relationship between tt and θ\theta is θ=t2\theta = t^2). Compute the following quantities.

(i) The speed at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (ii) The acceleration at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (iii) The magnitude of the normal component of the acceleration at the point

(−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big).

정답·풀이 보기

(a) 주어진 곡선에서 r(π)=(−4,0,14)\mathbf{r}(\pi) = \big(-4,0,\frac{1}{4}\big) 이고

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ))v(θ)=r′(θ)=(−4sin⁡θ , 2cos⁡θ , −12sin⁡(2θ))a(θ)=r′′(θ)=(−4cos⁡θ , −2sin⁡θ , −cos⁡(2θ))v(π)=(0 , −2 , 0)a(π)=(4 , 0 , −1)v(π)×a(π)=(2 , 0 , 8)\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta) &= \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta) &= \Big(-4 \sin\theta\,,\, 2\cos\theta\,,\, -\frac{1}{2}\sin(2\theta)\Big) \\ \mathbf{a}(\theta) = \mathbf{r}''(\theta) &= \Big(-4 \cos\theta\,,\, -2\sin\theta\,,\, -\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\pi) &= \big(0\,,\, -2\,,\, 0\big) \\ \mathbf{a}(\pi) &= \big(4\,,\, 0\,,\, -1\big) \\ \mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi) &= \big(2\,,\, 0\,,\, 8\big) \end{aligned}

따라서 θ=π\theta=\pi 에서의 곡률은

κ(π)=∣v(π)×a(π)∣∣v(π)∣3=∣(2,0,8)∣∣(0,−2,0)∣3=174\begin{aligned} \kappa (\pi)&=\frac{|\mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi)|}{|\mathbf{v}(\pi)|^3} =\frac{|(2,0,8)|}{|(0,-2,0)|^3} =\frac{\sqrt{17}}{4} \end{aligned}

이다.

(b) 반지름은

1κ(π)=417\frac{1}{\kappa (\pi)} = \frac{4}{\sqrt{17}}

이다.

(c) R(t)=r(t2)\mathbf{R}(t) = \mathbf{r}(t^2) 이라 하면

R′(t)=2t r′(t2)R′′(t)=2 r′(t2)+4t2 r′′(t2)\begin{aligned} \mathbf{R}'(t)&=2t\,\mathbf{r}'(t^2) \\ \mathbf{R}''(t) &= 2\,\mathbf{r}'(t^2) +4t^2\,\mathbf{r}''(t^2) \end{aligned}

이다. 특히,

R(π)=(−4 , 0 , 14)R′(π)=2π v(π)=(0 , −4π , 0)속력=∣R′(π)∣=4π가속도=R′′(π)=2 v(π)+4π a(π)=(16π , −4 , −4π)\begin{aligned} \mathbf{R}(\sqrt{\pi}) &= \Big(-4\,,\, 0\,,\, \frac{1}{4}\Big) \\ \mathbf{R}'(\sqrt{\pi}) &= 2\sqrt{\pi}\,\mathbf{v}(\pi) =\big(0\,,\, -4\sqrt{\pi}\,,\, 0\big) \\ \text{속력} = \big|\mathbf{R}'(\sqrt{\pi})\big| &=4\sqrt{\pi} \\ \text{가속도}=\mathbf{R}''(\sqrt{\pi}) &= 2\,\mathbf{v}(\pi)+4\pi\,\mathbf{a}(\pi) = \big( 16\pi\,,\, -4\,,\, -4\pi\big) \end{aligned}

이다.

가속도의 법선 성분의 크기는

κ(dsdt)2=174(4π)2=417 π\begin{aligned} \kappa \Big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\Big)^2 = \frac{\sqrt{17}}{4}\big(4\sqrt{\pi}\big)^2 =4\sqrt{17}\,\pi \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For the specified curve r(π)=(−4,0,14)\mathbf{r}(\pi) = \big(-4,0,\frac{1}{4}\big) and

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ))v(θ)=r′(θ)=(−4sin⁡θ , 2cos⁡θ , −12sin⁡(2θ))a(θ)=r′′(θ)=(−4cos⁡θ , −2sin⁡θ , −cos⁡(2θ))v(π)=(0 , −2 , 0)a(π)=(4 , 0 , −1)v(π)×a(π)=(2 , 0 , 8)\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta) &= \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta) &= \Big(-4 \sin\theta\,,\, 2\cos\theta\,,\, -\frac{1}{2}\sin(2\theta)\Big) \\ \mathbf{a}(\theta) = \mathbf{r}''(\theta) &= \Big(-4 \cos\theta\,,\, -2\sin\theta\,,\, -\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\pi) &= \big(0\,,\, -2\,,\, 0\big) \\ \mathbf{a}(\pi) &= \big(4\,,\, 0\,,\, -1\big) \\ \mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi) &= \big(2\,,\, 0\,,\, 8\big) \end{aligned}

So the curvature at θ=π\theta=\pi is

κ(π)=∣v(π)×a(π)∣∣v(π)∣3=∣(2,0,8)∣∣(0,−2,0)∣3=174\begin{aligned} \kappa (\pi)&=\frac{|\mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi)|}{|\mathbf{v}(\pi)|^3} =\frac{|(2,0,8)|}{|(0,-2,0)|^3} =\frac{\sqrt{17}}{4} \end{aligned}

(b) The radius is

1κ(π)=417\frac{1}{\kappa (\pi)} = \frac{4}{\sqrt{17}}

(c) Set R(t)=r(t2)\mathbf{R}(t) = \mathbf{r}(t^2). Then

R′(t)=2t r′(t2)R′′(t)=2 r′(t2)+4t2 r′′(t2)\begin{aligned} \mathbf{R}'(t)&=2t\,\mathbf{r}'(t^2) \\ \mathbf{R}''(t) &= 2\,\mathbf{r}'(t^2) +4t^2\,\mathbf{r}''(t^2) \end{aligned}

In particular,

R(π)=(−4 , 0 , 14)R′(π)=2π v(π)=(0 , −4π , 0)speed=∣R′(π)∣=4πacceleration=R′′(π)=2 v(π)+4π a(π)=(16π , −4 , −4π)\begin{aligned} \mathbf{R}(\sqrt{\pi}) &= \Big(-4\,,\, 0\,,\, \frac{1}{4}\Big) \\ \mathbf{R}'(\sqrt{\pi}) &= 2\sqrt{\pi}\,\mathbf{v}(\pi) =\big(0\,,\, -4\sqrt{\pi}\,,\, 0\big) \\ \text{speed} = \big|\mathbf{R}'(\sqrt{\pi})\big| &=4\sqrt{\pi} \\ \text{acceleration}=\mathbf{R}''(\sqrt{\pi}) &= 2\,\mathbf{v}(\pi)+4\pi\,\mathbf{a}(\pi) = \big( 16\pi\,,\, -4\,,\, -4\pi\big) \end{aligned}

The normal component of the acceleration has magnitude

κ(dsdt)2=174(4π)2=417 π\begin{aligned} \kappa \Big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\Big)^2 = \frac{\sqrt{17}}{4}\big(4\sqrt{\pi}\big)^2 =4\sqrt{17}\,\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 4번
# 단위접선·법선벡터활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)