도함수의 뜻 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-1 · 2.2절 · 26번우리말 번역

점 $(1,-3)$ 을 지나고 곡선 $y = x^2$ 에 접하는 서로 다른 직선이 두 개 있습니다. 이 두 직선의 방정식을 구하세요.

참고: 점 $(1,-3)$ 은 곡선 $y=x^2$ 위에 있지 않습니다.

영어 원문 보기

There are two distinct straight lines that pass through the point $(1,-3)$ and are tangent to the curve $y = x^2$ . Find equations for these two lines.

Remark: the point $(1,-3)$ does not lie on the curve $y=x^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y'=2x$ 임을 안다. 따라서 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(\alpha,\alpha^2)$ 을 택하면, 그 점에서 곡선의 접선의 기울기는 $2\alpha$ 이다. 즉, 접선의 방정식은

$\begin{aligned} (y-\alpha^2)&=2\alpha(x-\alpha)\\ \text{간단히 하면, } \qquad y&=(2\alpha)x-\alpha^2 \\ \text{따라서 $(1,-3)$ 이 접선 위에 있으면} \\ -3&=(2\alpha)(1)-\alpha^2\\ \iff\qquad 0&=\alpha^2-2\alpha-3\\ \iff\qquad 0&=(\alpha-3)(\alpha+1)\\ \iff\qquad \alpha&=3, \quad\text{또는}\qquad \alpha=-1. \\ \text{따라서 접선 $y=(2\alpha)x-\alpha^2$ 은} \\ y&=6x-9 \quad\text{와}\quad y=-2x-1. \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We know that $y'=2x$ . So, if we choose a point $(\alpha,\alpha^2)$ on the curve $y=x^2$ , then the tangent line to the curve at that point has slope $2\alpha$ . That is, the tangent line has equation

$\begin{aligned} (y-\alpha^2)&=2\alpha(x-\alpha)\\ \text{simplified, } \qquad y&=(2\alpha)x-\alpha^2 \\ \text{So, if $(1,-3)$ is on the tangent line, then} \\ -3&=(2\alpha)(1)-\alpha^2\\ \iff\qquad 0&=\alpha^2-2\alpha-3\\ \iff\qquad 0&=(\alpha-3)(\alpha+1)\\ \iff\qquad \alpha&=3, \quad\text{or}\qquad \alpha=-1. \\ \text{So, the tangent lines $y=(2\alpha)x-\alpha^2$ are} \\ y&=6x-9 \quad\text{and}\quad y=-2x-1. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 17번

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