미분가능성과 연속성 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

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