문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

함수의 그래프 그리기

증가·감소와 극값, 대칭, 점근선을 모아 함수의 그래프 개형을 그린다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. $f$ 의 변곡점을 구하세요.

$f(x)=x^3-4x^2+x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where $f$ is concave up or concave down, and b. the inflection points of $f.$

$f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2$

풀이 보기

이계도함수 $f''$ 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

1
이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $f''(x)=6x-8$
2
$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.
3
a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.
4
b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.

답

a. $x>\frac43$ 에서 아래로 볼록, $x<\frac43$ 에서 위로 볼록 b. 변곡점 $x=\frac43$ , 즉 $\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)$

자주 하는 실수

$f''(x)=0$ 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for $x>\frac{4}{3},$ concave down for $x<\frac{4}{3}$ b. Inflection point at $x=\frac{4}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기계산보통

4.OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번우리말 풀이

$f(x)$ 가 세 개의 근을 가지면 변곡점이 $1$ 개 있다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has three roots, then it has $1$ inflection point.

풀이 보기

근이 3개이면 롤의 정리를 두 번 써서 $f''$ 의 근이 있음을 알 수 있지만, 변곡점의 개수까지는 함수의 종류에 따라 달라요.

1
롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.
2
삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.
3
일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

답

일반적으로는 거짓(반례 $y=x^4-x^2$ : 근 3개, 변곡점 2개). 삼차함수라면 참이다

자주 하는 실수

근의 개수와 변곡점의 개수가 늘 같다고 생각하는 실수가 있어요. 변곡점은 $f''$ 의 부호 변화로 정해져요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

True, examine derivative

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 8번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술도전