문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

함수의 그래프 그리기

증가·감소와 극값, 대칭, 점근선을 모아 함수의 그래프 개형을 그린다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

2.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$