문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

함수의 그래프 그리기

증가·감소와 극값, 대칭, 점근선을 모아 함수의 그래프 개형을 그린다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

9문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

3.APEX · 3.5절 · 1번우리말 번역

기술이 어디에나 있는데도 손으로 곡선을 그리는 것이 유익한 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why is sketching curves by hand beneficial even though technology is ubiquitous?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

4.APEX · 3.5절 · 2번우리말 번역

“편재하는”은 무슨 뜻인가요?

영어 원문 보기

What does “ubiquitous” mean?

정답·풀이 보기

어디에서나 발견된다.

원본 교재 풀이(영어)

Found everywhere.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 3번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

5.APEX · 3.5절 · 3번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 임계점을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the critical points.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 31번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

6.APEX · 3.5절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 변곡점이 될 수 있는 점을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the possible points of inflection.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

7.APEX · 3.5절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 수평 점근선과 수직 점근선을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the horizontal and vertical asymptotes.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

8.APEX · 3.5절 · 6번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때, 점을 전혀 찍지 않아도 된다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, one need not plot any points at all.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

9.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 다음과 같이 주어졌다고 하자. $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ 여기서 $g(x)$ 도 함수이다. 참 또는 거짓: $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function given by $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ where $g(x)$ is also a function. True or false: $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ .

정답·풀이 보기

일반적으로 이것은 거짓이다. 예를 들어 함수 $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ 은 정의역의 모든 점에서 1 과 같으므로(그리고 $x=\pm3$ 일 때는 정의되지 않으므로) 수직 점근선이 없다.

그러나 $f(x)$ 가 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는 것은 분명히 가능하다. 예를 들어 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ 은 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다. 더 일반적으로, $g(x)$ 가 연속이고 $g(-3)\ne 0$ 이면 $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. For example, the function $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ has no vertical asymptotes, because it is equal to 1 in every point in its domain (and is undefined when $x=\pm3$ ).

However, it is certainly possible that $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . For example, $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . More generally, if $g(x)$ is continuous and $g(-3)\ne 0$ , then $f(x)$ has a vertical asympotote at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인기본자동 분류