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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)=f'(c)(2) 를 만족하는 cc 가 없음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=∣x−12∣f(x)=\left|x-\dfrac12\right|

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=∣x−12∣f(x)=|x-\frac{1}{2}|

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

  1. 1

    평균변화율을 구해요. f(1)=12f(1)=\tfrac12, f(−1)=32f(-1)=\tfrac32 이므로 f(1)−f(−1)=−1 ⇒ f′(c)⋅2=−1 ⇒ f′(c)=−12f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12 이 되는 cc 가 있는지 보면 돼요.

  2. 2

    도함수의 값을 살펴요. x>12x>\tfrac12 에서는 f(x)=x−12f(x)=x-\tfrac12 이므로 f′(x)=1f'(x)=1, x<12x<\tfrac12 에서는 f(x)=−x+12f(x)=-x+\tfrac12 이므로 f′(x)=−1f'(x)=-1 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 11 과 −1-1 뿐이라서 −12-\tfrac12 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 cc 가 없어요.

  3. 3

    왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. x=12x=\tfrac12 은 구간 (−1,1)(-1,1) 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 −1-1, 우미분계수는 11 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

ff 는 x=12x=\tfrac12 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 cc 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번
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