빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

27문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번우리말 번역

불연속인 함수가 있을 때에도 ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ 를 만족하는 $c$ 가 존재하는 것이 여전히 가능한가요? 그런 예를 그리거나 불가능한 이유를 증명하세요.

영어 원문 보기

If you have a function with a discontinuity, is it still possible to have ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ Draw such an example or prove why not.

정답·풀이 보기

예, 그러나 평균값 정리는 여전히 적용되지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

Yes, but the Mean Value Theorem still does not apply

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sin (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sin (\pi x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어느 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,0) \text{또는} (0,\infty )$ 안에 있는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,0) \text{or} (0,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 22번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.4절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어디인지 판단하세요. 답의 근거를 밝히세요.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,-2) \text{또는} (2,\infty )$ 에 포함되는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,-2) \text{or} (2,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.4절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (3x-5)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\ln (3x-5)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 함수에 평균값 정리가 적용되는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y={e}^{x}$ ( $[0,1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y={e}^{x}$ over $[0,1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 26번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.4절 · 25번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $\left[-\frac{3}{2},0\right]$ 에서 $y=\ln (2x+3)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\ln (2x+3)$ over $\left[-\frac{3}{2},0\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.4절 · 26번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $[0,2]$ 에서 함수 $f(x)=\tan (2\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$f(x)=\tan (2\pi x)$ over $[0,2]$

정답·풀이 보기

함수가 $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}$ 에서 불연속이므로 평균값 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply since the function is discontinuous at $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.4절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $[-3,3]$ 에서 $y=\sqrt{9-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\sqrt{9-{x}^{2}}$ over $[-3,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $[0,3]$ 에서 $y=\frac{1}{|x+1|}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{1}{|x+1|}$ over $[0,3]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 11번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.4절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 각 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $[0,6]$ 에서 $y={x}^{3}+2x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y={x}^{3}+2x+1$ over $[0,6]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.4절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\frac{x}{\sin (\pi x)+1}$ ( $[0,1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{x}{\sin (\pi x)+1}$ over $[0,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (x+1)$ ( $[0,e-1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\ln (x+1)$ over $[0,e-1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 19번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.4절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=x\sin (\pi x)$ ( $[0,2]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=x\sin (\pi x)$ over $[0,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.4절 · 34번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=5+|x|$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=5+|x|$ over $[-1,1]$

정답·풀이 보기

평균값 정리를 적용할 수 없다. $x=0$ 에서 미분가능하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; not differentiable at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 16번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.4절 · 35번우리말 번역

방정식 $y={x}^{3}+4x+16$ 이 실근을 정확히 하나만 가짐을 보이세요. 그 실근은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the equation $y={x}^{3}+4x+16$ has exactly one real root. What is it?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번우리말 번역

두 자동차가 한 신호등에서 다음 신호등까지 같은 시각에 출발하여 같은 시각에 도착한다. 두 자동차가 같은 속력으로 달리는 순간이 있는가? 증명하거나 반증하세요.

영어 원문 보기

Two cars drive from one stoplight to the next, leaving at the same time and arriving at the same time. Is there ever a time when they are going the same speed? Prove or disprove.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.4절 · 45번우리말 번역

$y={\sec }^{2}x$ 와 $y={\tan }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\sec }^{2}x$ and $y={\tan }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류