문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

접선의 방정식

곡선 위의 점, 주어진 기울기, 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 이용해 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하고, b. $x=a$ 에서 $f$ 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=2-3x^2,\ a=-2$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)=2-3{x}^{2},a=-2$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 $h$ 가 약분되고, 남은 식에 $h\to 0$ 을 넣어요.

1
함숫값을 구해요. $f(-2)=2-3\cdot 4=-10$ 이에요. 그리고 $f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2$
2
a: 정의 식을 계산해요. $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h$ 이제 $h\to 0$ 이면 $12-3h\to 12$ 이므로 $f'(-2)=12$ 예요.
3
b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 $(-2,-10)$ , 기울기는 $12$ 이므로 $y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14$

답

a. $12$ b. $y=12x+14$

자주 하는 실수

$(-2+h)^2$ 를 전개할 때 $4+h^2$ 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $12$ b. $y=12x+14$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 3번

# 접선의 방정식계산보통

2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

$f(x)=2x^3+4x^2-5x-3$ 의 그래프에서 $x=-1$ 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of $f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3$ at $x=-1.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

1
접점의 좌표를 구해요. $x=-1$ 일 때 $f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4$ 이므로 접점은 $(-1,\,4)$ 예요.
2
기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 $f'(-1)$ 이에요. 먼저 도함수는 $f'(x)=6x^2+8x-5$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $f'(-1)=6-8-5=-7$ 이에요.
3
직선의 방정식을 세워요. 점 $(-1,4)$ 를 지나고 기울기가 $-7$ 인 직선은 $y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3$

답

$y=-7x-3$

자주 하는 실수

접점의 $y$ 좌표를 구하지 않고 $f'(-1)$ 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-7x-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번

# 접선의 방정식계산보통