미분법 전체 문제

먼저 $\theta=\pi$ 를 그대로 넣어 봐요.

$$\frac{\sin\pi}{\tan\pi}=\frac{0}{0}$$

$0/0$ 꼴이라 값을 바로 알 수 없으니 식을 바꿔야 해요.

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 를 써서 분모를 바꿔요.

$$\frac{\sin\theta}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\sin\theta\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

$\theta\neq\pi$ 인 동안 $\sin\theta\neq0$ 이므로 약분할 수 있어요. 식이 $\cos\theta$ 가 돼요.

$$\lim_{\theta\to\pi}\cos\theta=\cos\pi=-1$$

합·차로 이어진 식은 항마다 따로 미분해도 돼요.

$(x^2)'=2x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, 상수 $1$ 의 미분은 $0$ 이에요.

$$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x+0=2x-\sec x\tan x$$

$u=5-2x$ 로 놓으면 $y=u^{-2}$ 이에요. 합성함수의 미분법은 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 예요.

$\dfrac{dy}{du}=-2u^{-3}$, $\dfrac{du}{dx}=-2$ 이므로

$$\frac{dy}{dx}=-2(5-2x)^{-3}\cdot(-2)=4(5-2x)^{-3}$$

음의 지수를 분수로 바꾸면 $\dfrac{4}{(5-2x)^3}$ 이에요.

$x^2$ 과 $e^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^2,\ v=e^x$ 로 놓으면 $u'=2x,\ v'=e^x$ 예요.

공식에 넣어요.

$$f'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}$$

원하면 $e^x$ 로 묶어 $f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x)$ 로 써도 같은 식이에요.

매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 분자·분모를 각각 $t$ 로 미분해서 나눠요.

$\frac{dx}{dt}=-5$, $\frac{dy}{dt}=3$ 이에요.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{-5}=-\frac35$$

매개변수 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 먼저 각각 미분해요. $\frac{dx}{dt}=-\sin t$, $\frac{dy}{dt}=\cos t$ 예요.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$$

$t=\frac{3\pi}{4}$ 에서 $\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$ 이므로 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1$$

검산해요. 이 곡선은 단위원이고, 원 위의 점 $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 에서 반지름의 기울기는 $-1$ 이에요. 접선은 반지름에 수직이므로 기울기는 $1$ 이에요.