문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

미분법 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번우리말 풀이

[계산기 사용] 홀링 3형 식은 $f(x)=\frac{ax^2}{n^2+x^2}$ 로 나타내요. 여기서 $x$ 는 먹이의 양이고, $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이에요.

a. $a=0.5$ , $n=5$ 일 때 홀링 3형 식의 그래프를 그리세요. 홀링 2형 식과 3형 식은 어떤 점이 다른가? b. 홀링 3형 식을 미분하고, 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. 이계도함수를 구하고 그 의미를 해석하시오(이계도함수의 그래프를 그려 보면 도움이 돼요). d. 홀링 2형 함수와 비교할 때, 홀링 3형 함수는 어떤 생태 현상을 더 설명하는가?

영어 원문 보기

[T] The Holling type III equation is described by $f(x)=\frac{a{x}^{2}}{{n}^{2}+{x}^{2}},$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the maximum consumption rate of the predator.

a. Graph the Holling type III equation given $a=0.5$ and $n=5.$ What are the differences between the Holling type II and III equations? b. Take the first derivative of the Holling type III equation and interpret the physical meaning of the derivative. c. Find and interpret the meaning of the second derivative (it may help to graph the second derivative). d. What additional ecological phenomena does the Holling type III function describe compared with the Holling type II function?

풀이 보기

분수 꼴은 몫의 미분법으로 미분하고, 이계도함수의 부호가 바뀌는 곳이 증가 속도가 바뀌는 지점이에요.

1
(a) $a=0.5$ , $n=5$ 이면 $f(x)=\frac{0.5x^2}{25+x^2}$ 이에요. 원점에서 출발해 처음에는 천천히 오르다가 점점 빨라지고, 그 뒤 다시 완만해지며 $x=10$ 에서 $f(10)=\frac{50}{125}=0.4$ 근처에 이르는 S자 모양이에요. 그림도 같아요. 홀링 2형 식은 문제에 주어지지 않았지만, 보통 처음부터 가파르게 오르다 완만해지는 모양이라서 3형은 초반에 평평하게 시작한다는 점이 달라요.
2
(b) 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 써요. $u=ax^2$ , $v=n^2+x^2$ 이면 $f'(x)=\frac{2ax(n^2+x^2)-ax^2\cdot2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ $x>0$ 에서 $f'(x)>0$ 이므로 먹이가 늘면 포식자의 섭취(성장)가 늘어난다는 뜻이에요.
3
(c) $f'(x)=2an^2\,x(n^2+x^2)^{-2}$ 를 한 번 더 미분해요. $f''(x)=2an^2\left[(n^2+x^2)^{-2}-4x^2(n^2+x^2)^{-3}\right]=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$
4
$f''(x)$ 의 부호는 $n^2-3x^2$ 가 정해요. $0<x<\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 양수여서 증가 속도가 점점 빨라지고, $x>\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 음수여서 증가 속도가 느려져요. $n=5$ 이면 그 경계는 $x=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.9$ 근처의 변곡점이에요.
5
(d) 먹이가 아주 적을 때 먹이가 포식자에게 잘 발견되지 않아 적게 잡아먹혀요. 그래서 포식자의 성장이 처음에 작아요. 3형 함수는 이런 초반의 낮은 섭취를 설명해요.

답

(a) 원점에서 시작하는 S자 모양 (b) $f'(x)=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ , 먹이가 늘면 섭취 증가 (c) $f''(x)=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$ , $x=\frac{n}{\sqrt3}$ 에서 증가 속도의 변화 방향이 바뀜 (d) 먹이가 적을 때 발견되기 어려워 섭취가 적은 현상

자주 하는 실수

몫의 미분법에서 분자를 $u'v+uv'$ 로 더해 버리는 실수가 많아요. 몫의 미분은 빼요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph increases from the origin quickly at first and then slowly to (10, 0.4).

b. ${f}^{'}(x)=\frac{2ax{n}^{2}}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{2}}.$ When the amount of prey increases, the predator growth increases. c. ${f}^{''}(x)=\frac{2a{n}^{2}({n}^{2}-3{x}^{2})}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{3}}.$ When the amount of prey is extremely small, the rate at which predator growth is increasing is increasing, but when the amount of prey reaches above a certain threshold, the rate at which predator growth is increasing begins to decrease. d. At lower levels of prey, the prey is more easily able to avoid detection by the predator, so fewer prey individuals are consumed, resulting in less predator growth.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번

# 이계도함수와 오목·볼록활용도전

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

풀이 보기

교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

3.OpenStax 1권 · 4.6절 · 53번우리말 풀이

다음 문제에서는 계산기를 쓰지 않고 함수의 그래프를 그리세요. 극대·극소, 변곡점, 점근선 근처의 모습처럼 그래프의 중요한 특징을 모두 살펴보세요.

$y=x\tan x,\quad x=[-\pi ,\pi ]$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw a graph of the functions without using a calculator. Be sure to notice all important features of the graph: local maxima and minima, inflection points, and asymptotic behavior.

$y=x\tan x,x=[-\pi ,\pi ]$

풀이 보기

대칭, 점근선, 증가·감소를 차례로 모으면 계산기 없이도 그래프의 개형이 나와요.

1
대칭부터 확인해요. $f(-x)=(-x)\tan(-x)=x\tan x=f(x)$ 이므로 $y$ 축에 대하여 대칭이에요. $0\le x\le\pi$ 만 살피고 나머지는 대칭으로 그리면 돼요.
2
점근선을 찾아요. $\tan x$ 가 정의되지 않는 곳은 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ 이고, 거기서 $x\ne0$ 이라 $|f(x)|\to\infty$ 가 되어 수직점근선이에요. 부호는 $\dfrac{\pi}{2}$ 왼쪽에서 $x\tan x\to+\infty$ , 오른쪽에서 $\to-\infty$ 예요.
3
중요한 점의 값을 구해요. $f(0)=0$ , $f(\pm\pi)=\pi\cdot 0=0$ 이에요. $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x>0$ , $\tan x>0$ 이라 $f>0$ , $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $\tan x<0$ 이라 $f<0$ 이에요.
4
증가·감소를 살펴요. $f'(x)=\tan x+x\sec^2x=\dfrac{\sin x\cos x+x}{\cos^2x}$ 이에요. 분자 $g(x)=x+\dfrac{\sin 2x}{2}$ 는 $g'(x)=1+\cos 2x\ge0$ 이라 늘어나기만 하고 $g(0)=0$ 이므로 $x>0$ 에서 $g>0$ 이에요. 따라서 $0<x<\pi$ 에서 $f'>0$ 으로 증가해요. 극값은 $x=0$ 에서의 극솟값 $0$ 뿐이에요.
5
오목·볼록을 살펴요. $f''(x)=2\sec^2x\,(1+x\tan x)$ 이므로 부호는 $1+x\tan x$ 가 정해요. $0\le x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x\tan x\ge0$ 이라 아래로 볼록해요. $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $x\tan x=-1$ 이 되는 $x\approx2.8$ 에서 부호가 바뀌어 위로 볼록했다가 아래로 볼록해지는 변곡점이 생겨요.
6
그래프를 정리해요. $0$ 에서 시작해 $\dfrac{\pi}{2}$ 쪽으로 $+\infty$ 로 올라가고, 점근선 오른쪽에서는 $-\infty$ 에서 올라와 $x=\pi$ 에서 $0$ 이 돼요. 왼쪽 절반은 $y$ 축 대칭으로 그려요.

답

$y$ 축 대칭, 수직점근선 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ , $x=0$ 에서 극솟값 $0$ , $x=\pm\pi$ 에서 값 $0$ , 변곡점은 $x\approx\pm2.8$ 근처 (그래프는 풀이 참조)

자주 하는 실수

$\tan x$ 의 점근선만 보고 $x$ 가 곱해진 효과(부호 변화, $x=0$ 에서 $0$ )를 놓쳐서 $0$ 근처 모양을 잘못 그려요.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has vertical asymptotes at x = ±π/2. The graph is symmetric about the y axis, so describing the left hand side will be sufficient. The function starts at (−π, 0) and decreases quickly to the asymptote. Then it starts on the other side of the asymptote in the second quadrant and decreases to the the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 17번

# 도함수의 활용(여러 가지 함수)그래프·표 해석도전