미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번우리말 풀이

[계산기 사용] 홀링 3형 식은 $f(x)=\frac{ax^2}{n^2+x^2}$ 로 나타내요. 여기서 $x$ 는 먹이의 양이고, $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이에요.

a. $a=0.5$ , $n=5$ 일 때 홀링 3형 식의 그래프를 그리세요. 홀링 2형 식과 3형 식은 어떤 점이 다른가? b. 홀링 3형 식을 미분하고, 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. 이계도함수를 구하고 그 의미를 해석하시오(이계도함수의 그래프를 그려 보면 도움이 돼요). d. 홀링 2형 함수와 비교할 때, 홀링 3형 함수는 어떤 생태 현상을 더 설명하는가?

영어 원문 보기

[T] The Holling type III equation is described by $f(x)=\frac{a{x}^{2}}{{n}^{2}+{x}^{2}},$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the maximum consumption rate of the predator.

a. Graph the Holling type III equation given $a=0.5$ and $n=5.$ What are the differences between the Holling type II and III equations? b. Take the first derivative of the Holling type III equation and interpret the physical meaning of the derivative. c. Find and interpret the meaning of the second derivative (it may help to graph the second derivative). d. What additional ecological phenomena does the Holling type III function describe compared with the Holling type II function?

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분수 꼴은 몫의 미분법으로 미분하고, 이계도함수의 부호가 바뀌는 곳이 증가 속도가 바뀌는 지점이에요.

1
(a) $a=0.5$ , $n=5$ 이면 $f(x)=\frac{0.5x^2}{25+x^2}$ 이에요. 원점에서 출발해 처음에는 천천히 오르다가 점점 빨라지고, 그 뒤 다시 완만해지며 $x=10$ 에서 $f(10)=\frac{50}{125}=0.4$ 근처에 이르는 S자 모양이에요. 그림도 같아요. 홀링 2형 식은 문제에 주어지지 않았지만, 보통 처음부터 가파르게 오르다 완만해지는 모양이라서 3형은 초반에 평평하게 시작한다는 점이 달라요.
2
(b) 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 써요. $u=ax^2$ , $v=n^2+x^2$ 이면 $f'(x)=\frac{2ax(n^2+x^2)-ax^2\cdot2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ $x>0$ 에서 $f'(x)>0$ 이므로 먹이가 늘면 포식자의 섭취(성장)가 늘어난다는 뜻이에요.
3
(c) $f'(x)=2an^2\,x(n^2+x^2)^{-2}$ 를 한 번 더 미분해요. $f''(x)=2an^2\left[(n^2+x^2)^{-2}-4x^2(n^2+x^2)^{-3}\right]=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$
4
$f''(x)$ 의 부호는 $n^2-3x^2$ 가 정해요. $0<x<\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 양수여서 증가 속도가 점점 빨라지고, $x>\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 음수여서 증가 속도가 느려져요. $n=5$ 이면 그 경계는 $x=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.9$ 근처의 변곡점이에요.
5
(d) 먹이가 아주 적을 때 먹이가 포식자에게 잘 발견되지 않아 적게 잡아먹혀요. 그래서 포식자의 성장이 처음에 작아요. 3형 함수는 이런 초반의 낮은 섭취를 설명해요.

답

(a) 원점에서 시작하는 S자 모양 (b) $f'(x)=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ , 먹이가 늘면 섭취 증가 (c) $f''(x)=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$ , $x=\frac{n}{\sqrt3}$ 에서 증가 속도의 변화 방향이 바뀜 (d) 먹이가 적을 때 발견되기 어려워 섭취가 적은 현상

자주 하는 실수

몫의 미분법에서 분자를 $u'v+uv'$ 로 더해 버리는 실수가 많아요. 몫의 미분은 빼요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The graph increases from the origin quickly at first and then slowly to (10, 0.4).

b. ${f}^{'}(x)=\frac{2ax{n}^{2}}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{2}}.$ When the amount of prey increases, the predator growth increases. c. ${f}^{''}(x)=\frac{2a{n}^{2}({n}^{2}-3{x}^{2})}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{3}}.$ When the amount of prey is extremely small, the rate at which predator growth is increasing is increasing, but when the amount of prey reaches above a certain threshold, the rate at which predator growth is increasing begins to decrease. d. At lower levels of prey, the prey is more easily able to avoid detection by the predator, so fewer prey individuals are consumed, resulting in less predator growth.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번

# 이계도함수와 오목·볼록활용도전

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

cm

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

# 관련 변화율활용보통

3.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

풀이 보기

교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

4.OpenStax 1권 · 4.7절 · 17번우리말 풀이

물에 빠진 사람에게 닿을 때까지 걸리는 전체 시간을, 수영하는 각 $\theta$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a function that measures the total amount of time it takes to reach the drowning person as a function of the swim angle, $\theta .$

풀이 보기

전체 시간은 (달리는 시간)+(헤엄치는 시간)이고, 각각 거리를 속력으로 나눈 값이에요.

1
왜 이렇게 할까요? 최적화 문제는 먼저 구하려는 양(여기서는 시간 $T$ )을 하나의 변수( $\theta$ )로 나타내는 데서 시작해요.
2
기본 관계를 떠올려요. 일정한 속력으로 움직이면 $\text{시간}=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 이에요.
3
두 구간으로 나눠요. 전체 시간은 $T(\theta)=\frac{(\text{달리는 거리})}{(\text{달리는 속력})}+\frac{(\text{헤엄치는 거리})}{(\text{헤엄치는 속력})}$ 이에요. 이 문제의 원본 답에서 첫 항 $\frac{40\theta}{3v}$ 는 달리는 시간, 둘째 항 $\frac{40\cos\theta}{v}$ 는 헤엄치는 시간에 해당해요.
4
각 $\theta$ 로 거리를 나타내요. (원문 앞 문제의 상황: 지름 $40\,\text{m}$ 인 원 모양 수영장 가장자리의 점 $A$ 에 있는 구조원이, 지름의 반대쪽 끝 $C$ 에 있는 사람에게 가요. 헤엄치는 속력은 $v$ , 수영장 가장자리를 달리는 속력은 $3v$ 예요.) 구조원이 지름 $AC$ 와 각 $\theta$ 를 이루는 방향으로 헤엄쳐 가장자리의 점 $B$ 에 닿은 뒤, 나머지는 가장자리를 따라 달린다고 해요.
- 헤엄치는 거리: 지름 위의 원주각 $\angle ABC=90^\circ$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 직각삼각형이고 $AB=AC\cos\theta=40\cos\theta$ 예요.
- 달리는 거리: 원주각 $\angle BAC=\theta$ 에 대한 중심각은 $2\theta$ 이므로, 반지름 $20$ 인 원에서 호 $BC$ 의 길이는 $20\cdot2\theta=40\theta$ 예요.
각 거리를 속력으로 나누면 헤엄치는 시간은 $\dfrac{40\cos\theta}{v}$ , 달리는 시간은 $\dfrac{40\theta}{3v}$ 예요.
5
식을 완성해요. $T(\theta)=\frac{40\theta}{3v}+\frac{40\cos\theta}{v}$ 이 식을 $\theta$ 로 미분해 $0$ 이 되는 곳을 찾으면 시간이 가장 짧은 각을 구할 수 있어요.

답

$T(\theta)=\dfrac{40\theta}{3v}+\dfrac{40\cos\theta}{v}$

자주 하는 실수

거리와 속력을 거꾸로 나누거나, 달리는 속력과 헤엄치는 속력을 바꿔 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$T(\theta )=\frac{40\theta }{3v}+\frac{40\cos \theta }{v}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번

# 도함수의 활용(여러 가지 함수)활용보통

미분법 전체 문제