미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

cm

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

# 관련 변화율활용보통

2.OpenStax 1권 · 4.7절 · 17번우리말 풀이

물에 빠진 사람에게 닿을 때까지 걸리는 전체 시간을, 수영하는 각 $\theta$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a function that measures the total amount of time it takes to reach the drowning person as a function of the swim angle, $\theta .$

풀이 보기

전체 시간은 (달리는 시간)+(헤엄치는 시간)이고, 각각 거리를 속력으로 나눈 값이에요.

1
왜 이렇게 할까요? 최적화 문제는 먼저 구하려는 양(여기서는 시간 $T$ )을 하나의 변수( $\theta$ )로 나타내는 데서 시작해요.
2
기본 관계를 떠올려요. 일정한 속력으로 움직이면 $\text{시간}=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 이에요.
3
두 구간으로 나눠요. 전체 시간은 $T(\theta)=\frac{(\text{달리는 거리})}{(\text{달리는 속력})}+\frac{(\text{헤엄치는 거리})}{(\text{헤엄치는 속력})}$ 이에요. 이 문제의 원본 답에서 첫 항 $\frac{40\theta}{3v}$ 는 달리는 시간, 둘째 항 $\frac{40\cos\theta}{v}$ 는 헤엄치는 시간에 해당해요.
4
각 $\theta$ 로 거리를 나타내요. (원문 앞 문제의 상황: 지름 $40\,\text{m}$ 인 원 모양 수영장 가장자리의 점 $A$ 에 있는 구조원이, 지름의 반대쪽 끝 $C$ 에 있는 사람에게 가요. 헤엄치는 속력은 $v$ , 수영장 가장자리를 달리는 속력은 $3v$ 예요.) 구조원이 지름 $AC$ 와 각 $\theta$ 를 이루는 방향으로 헤엄쳐 가장자리의 점 $B$ 에 닿은 뒤, 나머지는 가장자리를 따라 달린다고 해요.
- 헤엄치는 거리: 지름 위의 원주각 $\angle ABC=90^\circ$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 직각삼각형이고 $AB=AC\cos\theta=40\cos\theta$ 예요.
- 달리는 거리: 원주각 $\angle BAC=\theta$ 에 대한 중심각은 $2\theta$ 이므로, 반지름 $20$ 인 원에서 호 $BC$ 의 길이는 $20\cdot2\theta=40\theta$ 예요.
각 거리를 속력으로 나누면 헤엄치는 시간은 $\dfrac{40\cos\theta}{v}$ , 달리는 시간은 $\dfrac{40\theta}{3v}$ 예요.
5
식을 완성해요. $T(\theta)=\frac{40\theta}{3v}+\frac{40\cos\theta}{v}$ 이 식을 $\theta$ 로 미분해 $0$ 이 되는 곳을 찾으면 시간이 가장 짧은 각을 구할 수 있어요.

답

$T(\theta)=\dfrac{40\theta}{3v}+\dfrac{40\cos\theta}{v}$

자주 하는 실수

거리와 속력을 거꾸로 나누거나, 달리는 속력과 헤엄치는 속력을 바꿔 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$T(\theta )=\frac{40\theta }{3v}+\frac{40\cos \theta }{v}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번

# 도함수의 활용(여러 가지 함수)활용보통

3.CLP-1 · 2.9절 · 16번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ 로 주어진다. 입자의 속도가 0이 되는 $t$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time $t$ is given by $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ . For which values of $t$ is the velocity of the particle zero?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 것이다. 따라서 입자의 속도는 $s'(t)$ 로 주어진다. $s'(t)$ 를 구한 다음 이것이 0이 되는 때를 찾아야 한다.

미분하기 위해 연쇄 법칙을 쓴다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{이 함수가 0이 되는 곳을 알아보기 위해 인수분해한다:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

따라서 속도가 0이 되는 경우는 $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ 일 때, $3t-2=0$ 일 때, 그리고 $t-4=0$ 일 때이다. $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ 은 절대로 0이 되지 않으므로, 속도가 0이 되는 것은 정확히 $t=\frac{2}{3}$ 또는 $t=4$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Velocity is the derivative of position with respect to time. So, the velocity of the particle is given by $s'(t)$ . We need to find $s'(t)$ , and determine when it is zero.

To differentiate, we us the chain rule.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{To determine where this function is zero, we factor:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

So, the velocity is zero when $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ , when $3t-2=0$ , and when $t-4=0$ . Since $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ is never zero, this tells us that the velocity is zero precisely when $t=\frac{2}{3}$ or $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 17번

# 합성함수의 미분법활용보통자동 분류

4.CLP-1 · 2.14절 · 8번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ 로 주어진다고 하자. 시각 $t=1$ 에서 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the position of a particle at time $t$ is given by $s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}$ . Find the acceleration of the particle at time $t=1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

문제는 $s''(1)$ 을 구하는 것이다. 몫의 미분법을 사용하여 미분을 시작한다.

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{몫의 미분법을 다시 사용하면,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The question asks for $s''(1)$ . We start our differentiation using the quotient rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=\frac{e^t(t^2+1)-e^t(2t)}{(t^2+1)^2}\\ &=\frac{e^t(t^2-2t+1)}{(t^2+1)^2} \\ \text{Using the quotient rule again,} \\ s''(t)&=\frac{(t^2+1)^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{e^t(t^2-2t+1)\}-e^t(t^2-2t+1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{(t^2+1)^2\}}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{(t^2+1)^2\cdot\left[ e^t(2t-2)+e^t(t^2-2t+1)\right]- e^t(t^2-2t+1) \cdot 2(t^2+1)(2t)}{(t^2+1)^4}\\ &=\frac{e^t(t^2+1)^2(t^2-1)-4te^t(t-1)^2(t^2+1)}{(t^2+1)^4}\\ s''(1)&=0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 13번

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

5.CLP-1 · 2.14절 · 10번우리말 번역

시각 $t$ 초에서 입자의 높이가 $h(t)=-\cos t$ 로 주어진다. $t=1$ 에서 입자는 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

The height of a particle at time $t$ seconds is given by $h(t)=-\cos t$ . Is the particle speeding up or slowing down at $t=1$ ?

정답·풀이 보기

입자의 속도는 $h'(t)=\sin t$ 로 주어진다. $0<1<\pi$ 이므로 $h'(1)>0$ 이다. 즉, 입자는 올라가고 있다(양의 방향, 여기서는 “위쪽"으로 움직이고 있다). 입자의 가속도는 $h''(t)=\cos t$ 이다. $0<1<\frac{\pi}{2}$ 이므로 $h''(t)>0$ 이고, 따라서 $h'(t)$ 는 증가한다. 즉, 입자는 위쪽으로 움직이고 있고, 그 속도가 점점 커지고 있다. 따라서 입자는 빨라지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the particle is given by $h'(t)=\sin t$ . Note $0<1<\pi$ , so $h'(1)>0$ –the particle is rising (moving in the positive direction, in this case “up"). The acceleration of the particle is $h''(t)=\cos t$ . Since $0<1<\frac{\pi}{2}$ , $h''(t)>0$ , so $h'(t)$ is increasing: the particle is moving up, and it's doing so at an increasing rate. So, the particle is speeding up.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 11번

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

6.CLP-1 · 2.14절 · 11번우리말 번역

시각 $t$ 초에서 입자의 높이가 $h(t)=t^3-t^2-5t+10$ 으로 주어진다. $t=1$ 에서 입자의 운동은 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

The height of a particle at time $t$ seconds is given by $h(t)=t^3-t^2-5t+10$ . Is the particle's motion getting faster or slower at $t=1$ ?

정답·풀이 보기

이 문제에서는 속도에는 방향을 나타내는 부호가 있지만 속력에는 없다는 점을 기억해야 한다.

입자의 속도는 $h'(t)=3t^2-2t-5$ 이다. $t=1$ 에서 입자의 속도는 $-4$ 이므로, 입자는 초당 4 단위의 속력으로 아래쪽으로 움직이고 있다. 입자의 가속도는 $h''(t)=6t-2$ 이므로 $t=1$ 일 때 가속도는 (양수인) 초당 $4$ 단위의 변화율(초당 속도 변화량)이다. 이는 속도(현재 초당 $-4$ 단위)가 더 큰 수가 되어 가고 있다는 뜻이다. 속도가 음수이므로 더 큰 수는 0에 더 가까운 수이고, 따라서 입자의 속력은 작아지고 있다. (예를 들어 속도 $-3$ 은 속도 $-4$ 보다 느린 운동을 나타낸다.) 그러므로 입자는 $t=1$ 에서 느려지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

For this problem, remember that velocity has a sign indicating direction, while speed does not.

The velocity of the particle is given by $h'(t)=3t^2-2t-5$ . At $t=1$ , the velocity of the particle is $-4$ , so the particle is moving downwards with a speed of 4 units per second. The acceleration of the particle is $h''(t)=6t-2$ , so when $t=1$ , the acceleration is (positive) $4$ units per second per second. That means the velocity (currently $-4$ units per second) is becoming a bigger number–since the velocity is negative, a bigger number is closer to zero, so the speed of the particle is getting smaller. (For instance, a velocity of $-3$ represents a slower motion than a velocity of $-4$ .) So, the particle is slowing down at $t=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록활용보통자동 분류

미분법 전체 문제