문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

eˣ, aˣ, ln x, logₐx의 도함수를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.9절 · 29번우리말 번역

[계산기 사용] 2000년 미국 오하이오주 톨레도의 인구는 약 500,000명이었다. 인구가 매년 5%의 비율로 증가한다고 가정하자.

a. 전체 인구를 $t$ 에 대한 함수로 나타내는 지수함수를 쓰세요. b. a를 이용하여 $t$ 년 후 인구의 증가율을 구하세요. c. b를 이용하여 10년 후 인구의 증가율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The population of Toledo, Ohio, in 2000 was approximately 500,000. Assume the population is increasing at a rate of 5% per year.

a. Write the exponential function that relates the total population as a function of $t.$ b. Use a. to determine the rate at which the population is increasing in $t$ years. c. Use b. to determine the rate at which the population is increasing in 10 years.

정답·풀이 보기

a. $P=500,000{(1.05)}^{t}$ 명 b. ${P}^{'}(t)=24395\cdot {(1.05)}^{t}$ 명/년 c. $39,737$ 명/년

원본 교재 풀이(영어)

a. $P=500,000{(1.05)}^{t}$ individuals b. ${P}^{'}(t)=24395\cdot {(1.05)}^{t}$ individuals per year c. $39,737$ individuals per year

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 31번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.9절 · 30번우리말 번역

[계산기 사용] 원소 어븀의 한 동위원소는 반감기가 약 12시간이다. 처음에 이 동위원소가 9그램 있다.

a. 남아 있는 물질의 양을 시간 단위로 측정한 $t$ 에 대한 함수로 나타내는 지수함수를 쓰세요. b. a를 이용하여 $t$ 시간 후 물질이 붕괴하는 비율을 구하세요. c. b를 이용하여 $t=4$ 시간일 때의 붕괴율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] An isotope of the element erbium has a half-life of approximately 12 hours. Initially there are 9 grams of the isotope present.

a. Write the exponential function that relates the amount of substance remaining as a function of $t,$ measured in hours. b. Use a. to determine the rate at which the substance is decaying in $t$ hours. c. Use b. to determine the rate of decay at $t=4$ hours.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 5번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.9절 · 32번우리말 번역

[계산기 사용] 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 의 상대변화율은 $\frac{100\cdot {f}^{'}(x)}{f(x)}\%$ 로 주어진다. 인구 증가의 한 모델은 곰퍼츠 성장 함수이며, $P(x)=a{e}^{-b\cdot {e}^{-cx}}$ 로 주어진다. 여기서 $a,b$ 와 $c$ 는 상수이다.

a. 일반적인 곰퍼츠 함수의 상대변화율 공식을 구하세요. b. a를 이용하여 $a=204,b=0.0198$ 이고 $c=0.15$ 일 때, $x=20$ 개월 후 인구의 상대변화율을 구하세요. c. b의 결과가 무엇을 의미하는지 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The relative rate of change of a differentiable function $y=f(x)$ is given by $\frac{100\cdot {f}^{'}(x)}{f(x)}\%.$ One model for population growth is a Gompertz growth function, given by $P(x)=a{e}^{-b\cdot {e}^{-cx}}$ where $a,b,$ and $c$ are constants.

a. Find the relative rate of change formula for the generic Gompertz function. b. Use a. to find the relative rate of change of a population in $x=20$ months when $a=204,b=0.0198,$ and $c=0.15.$ c. Briefly interpret what the result of b. means.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 19번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류