치환적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번

# 치환적분법계산기본

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

지수 $-x^2$ 의 도함수 $-2x$ 가 앞의 $x$ 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.
2
치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.
3
적분해요. $\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

답

$-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C$

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

# 치환적분법계산기본

3.CLP-2 · 1.4절 · 2번우리말 번역

다음 추론은 타당한가요? 타당하지 않다면 바로잡으세요.

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

영어 원문 보기

Is the following reasoning sound? If not, fix it.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이 추론은 타당하지 않다. 치환을 할 때에는 미분 요소( $\mathrm{d}x$ )를 처리해야 한다. 치환적분법은 연쇄 법칙에서 나온 것임을 기억하자. 즉, 함수와 그 도함수가 함께 있어야 한다. 다음과 같이 하면 된다:

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ 이므로 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이다:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The reasoning is not sound: when we do a substitution, we need to take care of the differential ( $\mathrm{d}x$ ). Remember the method of substitution comes from the chain rule: there should be a function and its derivative. Here's the way to do it:

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ , so $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ :

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 6번

# 치환적분법계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 1.4절 · 4번우리말 번역

다음 추론이 타당한지 판단하세요. 타당하지 않다면 고치세요.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\left[\log|v|\right]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right) \end{aligned}$

영어 원문 보기

Is the following reasoning sound? If not, fix it.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ .

Work: We begin with the substitution $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ :

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u \\ \text{Now we use the substitution $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\left[\log|v|\right]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right) \end{aligned}$

정답·풀이 보기

더 짧은 방법이 있을 수도 있지만, 여기서의 추론은 타당하다.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$u=x^2$ 이면 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$ 이므로 실제로 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x&\text{식 정리}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u \\ \text{\text{피적분함수, 미분소, 적분 구간의 모든 부분이 $x$ 에서 $u$ 로 바뀌었다.}} \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u & \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}\\ \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v \\ \text{\text{피적분함수, 미분, 적분 구간의 모든 부분이 $u$ 에서 $v$ 로 바뀌었다.}} \\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v& \cos(0)=1\\ &=-\frac{1}{2}\bigg[\log|v|\bigg]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}&\text{미적분의 기본 정리 2부}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)& \log(1)=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Perhaps shorter ways exist, but the reasoning here is valid.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ .

Work: We begin with the substitution $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ :

If $u=x^2$ , then $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$ , so indeed $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x&\text{algebra}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u \\ \text{\text{Every piece is changed from $x$ to $u$: integrand, differential, limits.}} \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u & \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}\\ \\ \text{Now we use the substitution $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v \\ \text{\text{Every piece is changed from $u$ to $v$: integrand, differential, limits.}} \\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v& \cos(0)=1\\ &=-\frac{1}{2}\bigg[\log|v|\bigg]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}&\text{FTC Part 2}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)& \log(1)=0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번

# 치환적분법계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 1.4절 · 6번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 모든 곳에서 연속이고 미분가능한 함수라 하자. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))$ 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be functions that are continuous and differentiable everywhere. Simplify $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x)).$

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ 따라서 $f(g(x))$ 는 $f'(g(x))g'(x)$ 의 부정적분이다. $f'(g(x))g'(x)$ 의 모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

즉, 주어진 식은 어떤 상수 $C$ 로 간단히 된다.

참고: $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ 이므로 다음과 같이 결론짓는다. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ 이것이 바로 적분에서 치환을 하는 방법이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule, we see that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ So, $f(g(x))$ is an antiderivative of $f'(g(x))g'(x)$ . All antiderivatives of $f'(g(x))g'(x)$ differ by only a constant, so:

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

That is, our expression simplifies to some constant $C$ .

Remark: since $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ we conclude $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ which is precisely how we perform substitution on integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 7번

# 치환적분법계산기본자동 분류