문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

속함수를 t로 바꾸어 적분하고, 정적분에서는 적분 구간도 함께 바꾼다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 63번우리말 번역

반지름이 1인 반원의 넓이는 ${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$ 로 나타낼 수 있습니다. 치환 $x=\cos t$ 를 사용하여 반원의 넓이를 삼각함수의 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

The area of a semicircle of radius 1 can be expressed as ${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx.$ Use the substitution $x=\cos t$ to express the area of a semicircle as the integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 58번

# 치환적분법활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 64번우리말 번역

장축이 $x=-a$ 에서 $x=a$ 까지의 x축이고 단축이 $y=-b$ 에서 $y=b$ 까지의 y축인 타원의 위쪽 절반의 넓이는 ${\int }_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}dx$ 로 나타낼 수 있습니다. 치환 $x=a\cos t$ 를 사용하여 이 넓이를 삼각함수의 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

The area of the top half of an ellipse with a major axis that is the x-axis from $x=-a$ to $x=a$ and with a minor axis that is the y-axis from $y=-b$ to $y=b$ can be written as ${\int }_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}dx.$ Use the substitution $x=a\cos t$ to express this area in terms of an integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{t=\pi }^{0}b\sqrt{1-{\cos }^{2}t}\,\times \,(-a\sin t)dt={\int }_{t=0}^{\pi }ab{\sin }^{2}tdt$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{t=\pi }^{0}b\sqrt{1-{\cos }^{2}t}\,\times \,(-a\sin t)dt={\int }_{t=0}^{\pi }ab{\sin }^{2}tdt$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 16번

# 치환적분법활용자동 분류