치환적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int (2x+1){e}^{{x}^{2}+x-6}dx$ , 구간 $[-3,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int (2x+1){e}^{{x}^{2}+x-6}dx$ over $[-3,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ , 구간 $[0,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ on $[0,2]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째는 함수 f(x) = cos(ln(2x)) / x 의 그래프로, 대략 구간 (0,.25)에서 가파르게 증가한 뒤 x축을 향해 완만하게 감소한다. 두 번째는 함수 f(x) = sin(ln(2x)) 의 그래프로, 대략 구간 (0, .25)에서 가파르게 감소한 뒤 완만한 곡선을 그리며 증가하여 제1사분면으로 들어간다.

부정적분은 $y=\sin (\ln (2x))$ 이다. 이 부정적분은 $x=0$ 에서 연속이 아니므로, $y=\sin (\ln (2x))-C$ 가 정적분이 되도록 하는 C 의 값은 찾을 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = cos(ln(2x)) / x, which increases sharply over the approximate interval (0,.25) and then decreases gradually to the x axis. The second shows the function f(x) = sin(ln(2x)), which decreases sharply on the approximate interval (0, .25) and then increases in a gently curve into the first quadrant.

The antiderivative is $y=\sin (\ln (2x)).$ Since the antiderivative is not continuous at $x=0,$ one cannot find a value of C that would make $y=\sin (\ln (2x))-C$ work as a definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 34번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{3{x}^{2}+2x+1}{\sqrt{{x}^{3}+{x}^{2}+x+4}}dx$ , 구간 $[-1,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{3{x}^{2}+2x+1}{\sqrt{{x}^{3}+{x}^{2}+x+4}}dx$ over $[-1,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 4번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.5절 · 48번우리말 번역

다음 문제에서 $u$ -치환을 이용하여 상수 $C=0$ 인 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$ over $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 구간 (-5pi/16, 5pi/16) 에서 함수 f(x) = sin(x) / cos(x)^3 의 그래프이다. 0보다 작은 값에서는 증가하면서 위로 볼록하고, 0보다 큰 값에서는 증가하면서 아래로 볼록하다. 두 번째 그래프는 같은 구간에서 함수 f(x) = ½ sec(x)^2 의 그래프이다. 폭이 넓고 아래로 볼록한 곡선이며, 0보다 작은 값에서는 감소하고 0보다 큰 값에서는 증가한다.

부정적분은 $y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x$ 이다. $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0$ 이 되도록 $C=-2$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The antiderivative is $y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x.$ You should take $C=-2$ so that $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 15번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.5절 · 49번우리말 번역

다음 문제에서 $u$ -치환을 이용하여 상수 $C=0$ 인 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int (x+2){e}^{-{x}^{2}-4x+3}dx$ , 구간 $[-5,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int (x+2){e}^{-{x}^{2}-4x+3}dx$ over $[-5,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 20번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). It is an increasing concave up curve starting at the origin. The second shows the function f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). It is an increasing concave up curve starting at about 0.3.

The antiderivative is $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}.$ One should take $C=-\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 52번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.5절 · 61번우리말 번역

$a>0$ 이고 $a\ne 1$ 인 고정된 상수 $a$ 에 대해, $t=0$ 과 $t=x$ 사이에서 $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하고, $x\to \infty$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x$ where $a>0$ and $a\ne 1$ is fixed, and evaluate the limit as $x\to \infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 15번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.5절 · 62번우리말 번역

$g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래에서 $t=0$ 과 $t=x$ 사이의 넓이를 구하세요. 단, $0<x<1$ 이고 $a>0$ 은 고정된 상수입니다. $x\to 1$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x,$ where $0<x<1$ and $a>0$ is fixed. Evaluate the limit as $x\to 1.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ $x\to 1$ 일 때 극한은 $a<1$ 이면 $\frac{1}{2(1-a)}$ 이고, $a\ge 1$ 이면 극한은 +∞ 로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ As $x\to 1$ the limit is $\frac{1}{2(1-a)}$ if $a<1,$ and the limit diverges to +∞ if $a\ge 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.5절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 꺾이는 점(극값을 갖는 점)이 여섯 개 있다. 이 점들은 pi/4 직전, pi/2 직후, 3pi/4와 pi 사이, pi와 5pi/4 사이, 3pi/2 직전, 7pi/4 직후에 있으며, 값은 각각 약 3, -2, 1, -1, 2, -3이다. 그래프는 원점에서 시작하여 (2pi, 0)에서 끝난다. x축과는 pi/4와 pi/2 사이, 3pi/4 직전, pi, 5pi/4 직후, 3pi/2와 4pi/4 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt).$ Estimate the coefficients a and b, and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 32번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.5절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 그려져 있다. 그래프는 (0,1)에서 시작하여 (2pi, 1)에서 끝난다. 극점(극값을 갖는 점)이 다섯 개 있으며, pi/4 직후, pi/2와 3pi/4 사이, pi, 5pi/4와 3pi/2 사이, 7pi/4 직전에 있고, 값은 각각 약 -1.5, 2.5, -3, 2.5, -1이다. x축과는 0과 pi/4 사이, pi/2 직전, 3pi/4 직후, 5pi/4 직전, 3pi/2 직후, 7pi/4와 2pi 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt).$ Estimate the coefficients a and b and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt.$

정답·풀이 보기

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

원본 교재 풀이(영어)

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

11.Active Calculus · 5.3절 · 14번우리말 번역

미시간주 매스랜드 마을의 가정용 전력 소비는 최근 몇 년 동안 일정한 경향을 보였습니다. 평균 사용량을 반영한 자료를 바탕으로, 전력 회사의 기술자들은 마을의 에너지 소비율을 다음 함수로 모델링했습니다.

$r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\,.$

여기서 $t$ 는 평일 자정 이후 흘러간 시간(시간 단위)이고, $r$ 은 시각 $t$ 에서의 소비율(메가와트 단위)입니다. 이 문제에서는 단위가 매우 중요합니다. 메가와트라는 단위 자체가 단위 시간당 에너지 소비량을 나타내는 비율임에 주의하세요. 메가와트시는 1메가와트의 전력이 1시간 동안 일정하게 유지될 때의 에너지 총량과 같습니다.

(a) 구간 [0,24]에서 $r(t)$ 의 그래프를 각 부분의 이름을 정확히 표시하여 그리고, 그 의미를 설명하세요. 이것이 전력 소비의 타당한 모델인 이유는 무엇입니까? (b) 값을 계산하지 않고, $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 의 의미를 설명하세요. 답에 알맞은 단위를 포함하세요. (c) 매스랜드가 평일 하루에 소비하는 에너지의 정확한 양을 구하세요. (d) 임의의 24시간 동안 매스랜드의 평균 전력 소비율은 얼마입니까? 이 양의 단위는 무엇입니까?

영어 원문 보기

For the town of Mathland, MI, residential power consumption has shown certain trends over recent years. Based on data reflecting average usage, engineers at the power company have modeled the town's rate of energy consumption by the function

$r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\,.$

Here, $t$ measures time in hours after midnight on a typical weekday, and $r$ is the rate of consumption in megawatts at time $t$ . Units are critical throughout this problem; note that the unit megawatt is itself a rate, which measures energy consumption per unit time. A megawatt-hour is the total amount of energy that is equivalent to a constant stream of 1 megawatt of power being sustained for 1 hour.

(a) Sketch a carefully labeled graph of $r(t)$ on the interval [0,24] and explain its meaning. Why is this a reasonable model of power consumption? (b) Without calculating its value, explain the meaning of $\int_0^{24} r(t) \, dt$ . Include appropriate units on your answer. (c) Determine the exact amount of energy Mathland consumes in a typical day. (d) What is Mathland's average rate of power consumption in a given 24-hour period? What are the units on this quantity?

정답·풀이 보기

(a) 다음 그래프에서, 이 모델은 주기적이며 $24$ 시간마다 반복되는 것으로 보이고, 소비율이 사람들이 집에서 가장 활발하게 활동하는 시간대인 오전 $7$ 시 무렵과 오후 $5$ 시 무렵에 최대가 되는 것으로 보이므로 타당함을 알 수 있다. 구간 -2 < t < 26 에서 r(t) = 4 + sin(0.263t + 4.7) + cos(0.526t+9.4) 의 그래프이다. 함수는 t = 0 과 t = 24 에서 서로 같은 최솟값을 갖고, t ≈ 7 과 t ≈ 17 에서 서로 같은 최댓값을 갖는다. (b) $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 의 의미는 $24$ 시간 동안 소비된 전력의 총량이며, 단위는 메가와트시이다. 이는 $r(t)$ 의 단위가 메가와트이고 $\triangle t$ 의 단위가 시간이므로, 정적분에 대응하는 리만 합에서 $r(t) \cdot \triangle t$ 꼴의 항이 “메가와트시”의 단위를 갖기 때문이다. 또한 전력 소비율을 적분하면 소비된 전력의 총 변화량을 얻는다. (c) 평일 하루에 매스랜드는 $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 메가와트시의 전력을 소비하므로, 다음 적분의 값을 구해야 한다. $\int_0^{24} r(t) \, dt = \int_0^{24} \left[ 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4) \right] \, dt\,.$ 이를 위해 $u = 0.263t + 4.7$ ( $du = 0.263 \, dt$ 이므로)과 $w = 0.526t + 9.4$ ( $dw = 0.526 \, dt$ 이므로)로 치환하여 두 삼각함수 식의 부정적분을 구하면 다음과 같다. $\int \sin(0.263t + 4.7) \, dt = \frac{1}{0.263} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{0.263} \cos(u) = -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7)$ 그리고 $\int \cos(0.526t + 9.4) \, dt = \frac{1}{0.526} \int \cos(w) \, dw = \frac{1}{0.526} \sin(w) = \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4)\,.$ 이를 모두 합하고 미적분의 기본정리를 이용하면 다음을 얻는다. $\begin{aligned}\int_0^{24} r(t) \, dt &= \left. 4t -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4) \right|_0^{24} \\ &= \left[ 4 \cdot 24 -\frac{1}{0.263} \cos(0.263 \cdot 24 + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526 \cdot 24 + 9.4) \right] - \left[ -\frac{1}{0.263} \cos(4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(9.4) \right] \\ &\approx 95.7809\end{aligned}$ 메가와트시의 전력이 $24$ 시간 동안 사용된다. (d) 구간 $[0,24]$ 에서 비율 함수 $r$ 의 평균값은 다음과 같다. $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} = \frac{1}{24-0} \int_{0}^{24} r(t) \, dt\,.$ 따라서 (c)의 계산에 의해 다음을 얻는다. $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} \approx \frac{1}{24} \cdot 95.7809 = 3.99087$ 이 값의 단위는 메가와트이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the following plot, we see that the model is reasonable because it appears to be periodic and repeats every $24$ hours, as well as that the rate of consumption seems to peak at the times of day where people are most active in their homes: around $7$ a.m. and around $5$ p.m. A plot of r(t) = 4 + sin(0.263t + 4.7) + cos(0.526t+9.4) on the interval -2 lt t lt 26. The function has equal global minimums at t = 0 and t = 24, equal global maxnimums at t approx 7 and t approx 17 (b) The meaning of $\int_0^{24} r(t) \, dt$ is the total power consumed in $24$ hours, measured in megawatt-hours. This is because $r(t)$ is measured in megawatts and $\triangle t$ in hours, and thus in the Riemann sum that corresponds to the definite integral, the terms in the sum of the form $r(t) \cdot \triangle t$ have units “megawatt-hours”. Moreover, by integrating the rate of power consumption we get the total change in power consumed. (c) In a typical day, we know that Mathland consumes $\int_0^{24} r(t) \, dt$ megawatt-hours of power, and thus we seek to evaluate the integral $\int_0^{24} r(t) \, dt = \int_0^{24} \left[ 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4) \right] \, dt\,.$ To do so, we use the subtitutions $u = 0.263t + 4.7$ (so $du = 0.263 \, dt$ ) and $w = 0.526t + 9.4$ (so $dw = 0.526 \, dt$ ) to help us antidifferentiate the two trigonometric expressions, and thus we find that $\int \sin(0.263t + 4.7) \, dt = \frac{1}{0.263} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{0.263} \cos(u) = -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7)$ and $\int \cos(0.526t + 9.4) \, dt = \frac{1}{0.526} \int \cos(w) \, dw = \frac{1}{0.526} \sin(w) = \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4)\,.$ Putting this all together and using the Fundamental Theorem of Calculus, we have $\begin{aligned}\int_0^{24} r(t) \, dt &= \left. 4t -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4) \right|_0^{24} \\ &= \left[ 4 \cdot 24 -\frac{1}{0.263} \cos(0.263 \cdot 24 + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526 \cdot 24 + 9.4) \right] - \left[ -\frac{1}{0.263} \cos(4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(9.4) \right] \\ &\approx 95.7809\end{aligned}$ megawatt-hours of power used in $24$ hours. (d) We know that the average value of the rate function $r$ on $[0,24]$ is $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} = \frac{1}{24-0} \int_{0}^{24} r(t) \, dt\,.$ Thus, by our work in (c), we have that $\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} \approx \frac{1}{24} \cdot 95.7809 = 3.99087$ which is measured in megawatts.

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