문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

풀이 보기

분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아니면 $\pm\infty$ 로 가요. 부호는 $x$ 가 $1$ 의 왼쪽에서 다가갈 때의 분모 부호로 정해요.

1
직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$ , 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.
2
인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ , 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
3
분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.
4
왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

답

$-\infty$

자주 하는 실수

$\dfrac{5}{0}$ 을 보고 부호를 따지지 않은 채 그냥 $\infty$ 라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 4번

# 극한의 성질과 계산계산보통

3.OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

# 함수의 연속계산보통

4.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 $0$ 에 가까워져요.

1
분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.
2
분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$

답

$0$

자주 하는 실수

$\dfrac{1}{\infty}$ 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

5.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본