함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

풀이 보기

분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아니면 $\pm\infty$ 로 가요. 부호는 $x$ 가 $1$ 의 왼쪽에서 다가갈 때의 분모 부호로 정해요.

1
직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$ , 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.
2
인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ , 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
3
분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.
4
왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

답

$-\infty$

자주 하는 실수

$\dfrac{5}{0}$ 을 보고 부호를 따지지 않은 채 그냥 $\infty$ 라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 4번

# 극한의 성질과 계산계산보통

3.OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

# 함수의 연속계산보통

4.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 $0$ 에 가까워져요.

1
분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.
2
분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$

답

$0$

자주 하는 실수

$\dfrac{1}{\infty}$ 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

5.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

6.OpenStax 1권 · 2.1절 · 9번우리말 번역

앞의 연습문제에서 구한 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

정답·풀이 보기

$y=\frac{x}{4}+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{x}{4}+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.1절 · 12번우리말 번역

앞 문제의 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.1절 · 15번우리말 번역

앞의 연습문제에서 구한 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

정답·풀이 보기

$y=-x-2$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-x-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 7번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 2.2절 · 2번우리말 번역

앞의 연습문제의 결과는 양쪽 극한 $\lim_{x\to 1}f(x)?$ 에 대해 무엇을 나타냅니까? 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

What do your results in the preceding exercise indicate about the two-sided limit $\lim_{x\to 1}f(x)?$ Explain your response.

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 1}f(x)$ 는 존재하지 않는다. $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=-2\ne \lim_{x\to {1}^{+}}f(x)=2$ 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 1}f(x)$ does not exist because $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=-2\ne \lim_{x\to {1}^{+}}f(x)=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 2.2절 · 5번우리말 번역

앞의 연습문제의 극한은 어떤 수학 상수에 가까워지는 것처럼 보입니까?

영어 원문 보기

To which mathematical constant does the limit in the preceding exercise appear to be getting closer?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 2.2절 · 8번우리말 번역

앞의 두 문제를 이용하여, a 가 양의 실수일 때 다음 극한의 값을 추측하세요: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}$

영어 원문 보기

Use the preceding two exercises to conjecture (guess) the value of the following limit: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}$ for a, a positive real value.

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=a$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=a$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 22번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 2.3절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 7}{x}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 7}{x}^{2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

49

원본 교재 풀이(영어)

49

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 7번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 2.3절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -2}(4{x}^{2}-1)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to -2}(4{x}^{2}-1)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 19번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 2.3절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\sin x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\sin x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

1

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 1번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 2.3절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 2}{e}^{2x-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 2}{e}^{2x-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 50번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 2.3절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 1}\frac{2-7x}{x+6}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 1}\frac{2-7x}{x+6}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{5}{7}$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{5}{7}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 5번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 2.3절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 3}\ln {e}^{3x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 3}\ln {e}^{3x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 27번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 2.3절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문 참조)의 방법을 이용하여 함수를 간단히 하고 극한을 판단하세요.

$\lim_{x\to {-2}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {-2}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

정답·풀이 보기

−∞

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 45번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 2.3절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문 참조)의 방법을 이용하여 함수를 간단히 하고 극한을 판단하세요.

$\lim_{x\to {-2}^{+}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {-2}^{+}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 33번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 2.3절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 대입하여 정의되지 않는 식을 구하세요. 그런 다음 (본문 참조)의 방법을 사용하여 함수를 간단히 하고 극한을 판단하세요.

$\lim_{x\to {1}^{+}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{+}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 6번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제