문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1}$ at $x=1$

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

1
함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.
2
극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$
3
결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속개념 확인기본

2.CLP-1 · 1.1절 · 2번우리말 번역

곡선 $y=f(x)$ 가 $x=2$ 인 점에서 접선 $y=2x+3$ 을 갖는다고 하자.

(a) 참 또는 거짓: $f(2)=7$ (b) 참 또는 거짓: $f(3)=9$

영어 원문 보기

Suppose a curve $y=f(x)$ has tangent line $y=2x+3$ at the point $x=2$ .

(a) True or False: $f(2)=7$ (b) True or False: $f(3)=9$

정답·풀이 보기

(a) 참: $y=2x+3$ 은 $y=f(x)$ 의 $x=2$ 인 점에서의 접선이므로, 함수와 접선은 $x=2$ 에서 같은 값을 갖는다. 따라서 $f(2)=2(2)+3=7$ 이다. (b) 일반적으로 거짓이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 그 접선 $y=2x+3$ 이 $x=2$ 에서 일치한다는 것만 보장된다. $x\ne 2$ 일 때 함수 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 같은 값을 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 $f(x)=2x+3$ 이면 당연히 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x$ 의 모든 값에서 일치한다. 그러나 $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ 이면 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x=2$ 에서만 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) True: since $y=2x+3$ is the tangent line to $y=f(x)$ at the point $x=2$ , this means the function and the tangent line have the same value at $x=2$ . So $f(2)=2(2)+3=7$ . (b) In general, this is false. We are only guaranteed that the curve $y=f(x)$ and its tangent line $y=2x+3$ agree at $x=2$ . The functions $f(x)$ and $2x+3$ may or may not take the same values when $x\ne 2$ . For example, if $f(x)=2x+3$ , then of course $f(x)$ and $2x+3$ agree for all values of $x$ . But if $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ , then $f(x)$ and $2x+3$ agree only for $x=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.1절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인기본자동 분류

3.CLP-1 · 1.6절 · 7번우리말 번역

함수 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이라 하자. $t=5$ 는 $f(t)$ 의 정의역에 속한다. 참인가 거짓인가?

영어 원문 보기

Suppose $f(t)$ is continuous at $t=5$ . True or false: $t=5$ is in the domain of $f(t)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)$ 이다. 이것이 성립하려면 $f(5)$ 가 존재해야 한다. 즉 5는 $f(x)$ 의 정의역에 속한다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Since $f(t)$ is continuous at $t=5$ , that means $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)$ . For that to be true, $f(5)$ must exist — that is, 5 is in the domain of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 6번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류

4.CLP-1 · 1.6절 · 8번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ 이고 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이라고 하자. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하세요: $f(5)=17$ .

영어 원문 보기

Suppose $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ , and suppose $f(t)$ is continuous at $t=5$ . True or false: $f(5)=17$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)=17$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Using the definition of continuity, $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)=17$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 21번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류

5.CLP-1 · 1.6절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ 이라 하자. $f(5)=17$ 은 참인지 거짓인지 답하세요.

영어 원문 보기

Suppose $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ . True or false: $f(5)=17$ .

정답·풀이 보기

일반적으로 거짓이다. $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이면 $f(5)=17$ 이다. 그러나 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 불연속이면 $f(5)$ 는 존재하지 않거나 17이 아닌 다른 수이다.

$\displaystyle \lim_{t \to 5}f(t)=17 \neq f(5)$ 인 함수의 예는 $f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} 17&,&t \neq 5\\ 0&,&t=5 \end{array} \right.$ 이며, 아래 그림과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, false. If $f(t)$ is continuous at $t=5$ , then $f(5)=17$ ; if $f(t)$ is discontinuous at $t=5$ , then $f(5)$ either does not exist, or is a number other than 17.

An example of a function with $\displaystyle \lim_{t \to 5}f(t)=17 \neq f(5)$ is $f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} 17&,&t \neq 5\\ 0&,&t=5 \end{array} \right.$ , shown below.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 8번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류