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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한과 연속 전체 문제

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21문제 · 2 / 2쪽

21.Active Calculus · 1.2절 · 11번우리말 번역

번지 점프를 하는 한 사람이 시각 t=0t=0 에 탑에서 뛰어내린다. 시각 tt 초에서 그녀의 높이 ss 피트는 s(t)=100cos⁡(0.75t)⋅e−0.2t+100s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100 으로 주어진다.

(a) 구간 [1,1+h][1,1+h] 에서 번지 점프를 하는 사람의 평균 속도를 나타내는 식을 쓰세요. (b) 계산 도구를 사용하여 (a)에서 구한 식의 h→0h \to 0 일 때의 극한값을 어림하세요. (c) (b)에서 구한 극한값이 무엇을 뜻하는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

A bungee jumper dives from a tower at time t=0t=0. Her height ss in feet at time tt in seconds is given by s(t)=100cos⁡(0.75t)⋅e−0.2t+100s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100.

(a) Write an expression for the average velocity of the bungee jumper on the interval [1,1+h][1,1+h]. (b) Use computing technology to estimate the value of the limit as h→0h \to 0 of the quantity you found in (a). (c) What is the meaning of the value of the limit in (b)? What are its units?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도의 일반적인 공식을 이용하면 다음과 같다. AV[1,1+h]=s(1+h)−s(1)h=(100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100)−(100cos⁡(0.75)⋅e−0.2+100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2−100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2h\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned} (b) 스프레드시트를 이용하여 식 AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]} 에 작은 hh 의 값들을 대입하면 다음과 같다. h=0h=0 근처에서 AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]} 의 값

hh AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]}
0.10.1 −54.50145823-54.50145823
0.010.01 −53.90917396-53.90917396
0.0010.001 −53.84429251-53.84429251
0.00010.0001 −53.83774757-53.83774757
−0.1-0.1 −53.83629174-53.83629174
−0.01-0.01 −53.82973418-53.82973418
−0.001-0.001 −53.76359015-53.76359015
−0.0001-0.0001 −53.04508149-53.04508149
따라서
lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837 .\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.
(c) lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837 이므로, 이는 t=1t = 1 인 순간 번지 점프를 하는 사람의 순간 속도가 약 −53.837-53.837 ft/sec 임을 뜻한다.
원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the standard formula for average velocity, we see that AV[1,1+h]=s(1+h)−s(1)h=(100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100)−(100cos⁡(0.75)⋅e−0.2+100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2−100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2h\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned} (b) Using a spreadsheet and small values of hh in the expression AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]}, we see that Values of AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]} near h=0h=0.

hh AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]}
0.10.1 −54.50145823-54.50145823
0.010.01 −53.90917396-53.90917396
0.0010.001 −53.84429251-53.84429251
0.00010.0001 −53.83774757-53.83774757
−0.1-0.1 −53.83629174-53.83629174
−0.01-0.01 −53.82973418-53.82973418
−0.001-0.001 −53.76359015-53.76359015
−0.0001-0.0001 −53.04508149-53.04508149
and hence
lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837 .\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.
(c) Since lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837 this tells us that the instantaneous velocity of the bungee jumper at the moment t=1t = 1 is approximately −53.837-53.837 ft/sec.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.2절 · 10번
# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류
Active Calculus CC BY-SA우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)