문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

한 점에서 연속인 조건(함숫값=극한값)을 확인하고 불연속인 곳을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 1.6절 · 4번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f$ 는 $x=10$ 과 $x=20$ 사이에서 영점을 갖는다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f$ has a zero between $x=10$ and $x=20$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예. 이는 사잇값 정리를 그대로 적용한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. This is a straightforward application of IVT.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 28번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

2.CLP-1 · 1.6절 · 5번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f(15)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f(15)=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 $10$ 과 $20$ 사이의 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 임을 말해 줄 뿐, 그 $x$ 가 정확히 가운데에 있어야 하는 것은 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says that $f(x)=0$ for some $x$ between $10$ and $20$ , but it doesn't have to be exactly half way between.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 4번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

3.CLP-1 · 1.6절 · 6번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 정의된 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이며, $f$ 가 $-13$ 과 $13$ 사이의 모든 값을 취한다고 하자. 그러면 $f$ 는 연속이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ , and $f$ takes on every value between $-13$ and $13$ . Then $f$ is continuous.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 처음부터 연속이라는 보장이 없는 함수에 대해서는 아무것도 말해 주지 않는다. 위와 같은 조건을 만족하면서 연속이 아닌 함수는 아주 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어 아래 그림의 함수는 식의 형태보다 그래프를 보는 편이 이해하기 쉽다: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says nothing about functions that are not guaranteed to be continuous at the outset. It's quite easy to construct a function that is as described, but not continuous. For example, the function pictured below, whose equation format is somewhat less enlightening than its graph: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 5번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

4.CLP-1 · 1.6절 · 10번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이고, $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ 이라고 하자. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at $x=0$ , and let $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ . What is $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 0에서 연속이고 $g^2(x)+1$ 은 0이 될 수 없으므로, $h(x)$ 도 0에서 연속이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값은 $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ 이다.

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값이 0이므로, 우극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ 도 존재하고 그 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at zero, and since $g^2(x)+1$ must be nonzero, then $h(x)$ is continuous at 0 as well. According to the definition of continuity, then $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ .

Since the limit $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to zero, also the one-sided limit $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ exists and is equal to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 12번

# 함수의 연속계산기본자동 분류