함수의 연속 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1}$ at $x=1$

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

1
함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.
2
극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$
3
결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속개념 확인기본

2.CLP-1 · 1.6절 · 1번우리말 번역

무한 불연속점을 무수히 많이 갖는 함수의 예를 하나 드세요. (식을 쓰거나 그래프를 그려도 됩니다.)

영어 원문 보기

Give an example of a function (you can write a formula, or sketch a graph) that has infinitely many infinite discontinuities.

정답·풀이 보기

여러 가지 답이 가능하다. 탄젠트 함수가 이와 같은 성질을 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; the tangent function behaves like this.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 7번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 1.6절 · 2번우리말 번역

내가 태어났을 때 나는 키가 1미터보다 작았다. 지금은 키가 1미터보다 크다. 내 키에 대해 사잇값 정리가 말해 주는 결론은 무엇일까요?

영어 원문 보기

When I was born, I was less than one meter tall. Now, I am more than one meter tall. What is the conclusion of the Intermediate Value Theorem about my height?

정답·풀이 보기

$f$ 를 내 키, 내가 태어난 시각을 $a$ , 지금을 $b$ 라 하면 $f(a) \leq 1 \leq f(b)$ 임을 안다. 내 키는 연속인 함수라고 가정하는 것이 합리적이다. 그러면 사잇값 정리에 의해 $a$ 와 $b$ 사이에 $f(c)=1$ 인 값 $c$ 가 존재한다. 즉 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 내 키가 정확히 1미터였던 어떤 시점(이를 $c$ 라 했다)이 있다.

사잇값 정리는 내 키가 1미터였던 날이 정확히 언제인지는 말해 주지 않는다는 점에 주의하자. 그런 날이 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 있었음을 보장할 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

If we let $f$ be my height, the time of my birth is $a$ , and now is $b$ , then we know that $f(a) \leq 1 \leq f(b)$ . It is reasonable to assume that my height is a continuous function. So by the IVT, there is some value $c$ between $a$ and $b$ where $f(c)=1$ . That is, there is some time (we called it $c$ ) between my birth and today when I was exactly one meter tall.

Notice the IVT does not say precisely what day I was one meter tall; it only guarantees that such a day occurred between my birth and today.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 1번

# 함수의 연속활용기본자동 분류

4.CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 중에서 $f(0)=0$ , $f(2)=2$ 이고 $f(x)$ 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Give an example (by sketch or formula) of a function $f(x)$ , defined on the interval $[0,2]$ , with $f(0)=0$ , $f(2)=2$ , and $f(x)$ never equal to 1. Why does this not contradict the Intermediate Value Theorem?

정답·풀이 보기

한 가지 예는 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right.$ 이다. 사잇값 정리(IVT)는 $f$ 가 $[0,2]$ 에서 연속일 때에만 $[0,2]$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=1$ 임을 보장한다. $f$ 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

One example is $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&\text{when }0 \leq x \leq 1\\ 2&\text{when }1<x \leq 2 \end{array}\right.$ . The IVT only guarantees $f(c)=1$ for some $c$ in $[0,2]$ when $f$ is continuous over $[0,2]$ . If $f$ is not continuous, the IVT says nothing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 2번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류

5.CLP-1 · 1.6절 · 4번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f$ 는 $x=10$ 과 $x=20$ 사이에서 영점을 갖는다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f$ has a zero between $x=10$ and $x=20$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예. 이는 사잇값 정리를 그대로 적용한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. This is a straightforward application of IVT.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 28번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

6.CLP-1 · 1.6절 · 5번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f(15)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f(15)=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 $10$ 과 $20$ 사이의 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 임을 말해 줄 뿐, 그 $x$ 가 정확히 가운데에 있어야 하는 것은 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says that $f(x)=0$ for some $x$ between $10$ and $20$ , but it doesn't have to be exactly half way between.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 4번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

7.CLP-1 · 1.6절 · 6번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 정의된 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이며, $f$ 가 $-13$ 과 $13$ 사이의 모든 값을 취한다고 하자. 그러면 $f$ 는 연속이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ , and $f$ takes on every value between $-13$ and $13$ . Then $f$ is continuous.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 처음부터 연속이라는 보장이 없는 함수에 대해서는 아무것도 말해 주지 않는다. 위와 같은 조건을 만족하면서 연속이 아닌 함수는 아주 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어 아래 그림의 함수는 식의 형태보다 그래프를 보는 편이 이해하기 쉽다: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says nothing about functions that are not guaranteed to be continuous at the outset. It's quite easy to construct a function that is as described, but not continuous. For example, the function pictured below, whose equation format is somewhat less enlightening than its graph: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 5번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

8.CLP-1 · 1.6절 · 7번우리말 번역

함수 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이라 하자. $t=5$ 는 $f(t)$ 의 정의역에 속한다. 참인가 거짓인가?

영어 원문 보기

Suppose $f(t)$ is continuous at $t=5$ . True or false: $t=5$ is in the domain of $f(t)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)$ 이다. 이것이 성립하려면 $f(5)$ 가 존재해야 한다. 즉 5는 $f(x)$ 의 정의역에 속한다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Since $f(t)$ is continuous at $t=5$ , that means $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)$ . For that to be true, $f(5)$ must exist — that is, 5 is in the domain of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 6번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류

9.CLP-1 · 1.6절 · 8번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ 이고 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이라고 하자. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하세요: $f(5)=17$ .

영어 원문 보기

Suppose $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ , and suppose $f(t)$ is continuous at $t=5$ . True or false: $f(5)=17$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)=17$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Using the definition of continuity, $\displaystyle \lim_{t \to 5} f(t)=f(5)=17$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 21번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류

10.CLP-1 · 1.6절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ 이라 하자. $f(5)=17$ 은 참인지 거짓인지 답하세요.

영어 원문 보기

Suppose $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17$ . True or false: $f(5)=17$ .

정답·풀이 보기

일반적으로 거짓이다. $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 연속이면 $f(5)=17$ 이다. 그러나 $f(t)$ 가 $t=5$ 에서 불연속이면 $f(5)$ 는 존재하지 않거나 17이 아닌 다른 수이다.

$\displaystyle \lim_{t \to 5}f(t)=17 \neq f(5)$ 인 함수의 예는 $f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} 17&,&t \neq 5\\ 0&,&t=5 \end{array} \right.$ 이며, 아래 그림과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, false. If $f(t)$ is continuous at $t=5$ , then $f(5)=17$ ; if $f(t)$ is discontinuous at $t=5$ , then $f(5)$ either does not exist, or is a number other than 17.

An example of a function with $\displaystyle \lim_{t \to 5}f(t)=17 \neq f(5)$ is $f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} 17&,&t \neq 5\\ 0&,&t=5 \end{array} \right.$ , shown below.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 8번

# 함수의 연속개념 확인기본자동 분류

11.CLP-1 · 1.6절 · 10번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이고, $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ 이라고 하자. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at $x=0$ , and let $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ . What is $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 0에서 연속이고 $g^2(x)+1$ 은 0이 될 수 없으므로, $h(x)$ 도 0에서 연속이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값은 $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ 이다.

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값이 0이므로, 우극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ 도 존재하고 그 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at zero, and since $g^2(x)+1$ must be nonzero, then $h(x)$ is continuous at 0 as well. According to the definition of continuity, then $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ .

Since the limit $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to zero, also the one-sided limit $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ exists and is equal to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 12번

# 함수의 연속계산기본자동 분류