문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

한 점에서 연속인 조건(함숫값=극한값)을 확인하고 불연속인 곳을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

# 함수의 연속계산보통

2.CLP-1 · 1.6절 · 13번우리말 번역

함수가 연속인 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which the function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 유리함수이므로 분모가 0인 경우를 제외하고 연속이다. 즉, $x=1$ 과 $x=-1$ 을 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)$ is a rational function and so is continuous except when its denominator is zero. That is, except when $x=1$ and $x=-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 14번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

3.CLP-1 · 1.6절 · 14번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ .

정답·풀이 보기

이 함수는 $x^2-1> 0$ , 즉 $(x-1)(x+1)> 0$ 일 때 연속이며, 이를 풀면 구간 $(-\infty, -1)\cup (1,+\infty)$ 를 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when $x^2-1> 0$ , i.e. $(x-1)(x+1)> 0$ , which yields the intervals $(-\infty, -1)\cup (1,+\infty)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 15번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

4.CLP-1 · 1.6절 · 15번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}$ .

정답·풀이 보기

함수 $1/\sqrt{x}$ 는 $(0,+\infty)$ 에서 연속이고 함수 $\cos(x) + 1$ 은 모든 점에서 연속이다.

따라서 $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ 은 $\cos x=-1$ 인 점을 제외하고 연속이다. 이것은 $x$ 가 $\pi$ 의 홀수 배일 때 일어난다. 그러므로 이 함수는 $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ 를 제외한 모든 점에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $1/\sqrt{x}$ is continuous on $(0,+\infty)$ and the function $\cos(x) + 1$ is continuous everywhere.

So $1/\sqrt{\cos(x) + 1 }$ is continuous except when $\cos x=-1$ . This happens when $x$ is an odd multiple of $\pi$ . Hence the function is continuous except at $x=\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번

# 함수의 연속계산보통자동 분류

5.CLP-1 · 1.6절 · 16번우리말 번역

이 함수가 연속이 되는 모든 점을 설명하세요: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

영어 원문 보기

Describe all points for which this function is continuous: $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

정답·풀이 보기

이 함수는 $\sin(x)\neq 0$ 일 때 연속이다. 즉, $x$ 가 $\pi$ 의 정수 배가 아닐 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous when $\sin(x)\neq 0$ . That is, when $x$ is not an integer multiple of $\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 17번

# 함수의 연속계산보통자동 분류