방정식과 부등식 전체 연습문제 (중학 수학)

1.OpenStax Prealgebra · 9.4절 · 39번우리말 풀이

직사각형 모양 창문의 가로는 세로보다 40인치 짧아요. 창문의 둘레가 224인치일 때 세로와 가로의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

The width of a rectangular window is $40$ inches less than the height. The perimeter of the doorway is $224$ inches. Find the length and the width.

풀이 보기

직사각형의 둘레는 (가로+세로)×2 예요. 세로를 $h$ 로 놓고 가로를 $h-40$ 으로 나타내요.

1
문자를 정해요. 세로를 $h$ 인치라고 하면 가로는 $h-40$ 인치예요.
2
둘레 식을 세워요. $2\bigl(h+(h-40)\bigr)=224$ 예요.
3
풀어요. $2(2h-40)=224$ 에서 $2h-40=112$ , $2h=152$ , $h=76$ 이에요.
4
가로를 구해요. $76-40=36$ 이에요.
5
검산해요. $2(76+36)=224$ 로 맞아요.

답

세로 76인치, 가로 36인치

자주 하는 실수

둘레 224 를 (가로+세로)의 값으로 착각하고 $h+(h-40)=224$ 로 세우기 쉬워요. 둘레는 한 쌍의 합의 2배예요.

원본 교재 풀이(영어)

76 in., 36 in.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 2.3절 · 27번

# 일차방정식활용기본

2.OpenStax Elementary Algebra · 2.4절 · 28번우리말 풀이

일차방정식 $18-2(y-3)=32$ 를 푸세요.

영어 원문 보기

Solve Equations Using the General Strategy for Solving Linear Equations

In the following exercises, solve each linear equation.

$18-2(y-3)=32$

답 쓰고 채점

풀이 보기

괄호를 먼저 풀고 상수항을 이항해서 $y$ 만 남겨요. 음수를 곱할 때 부호를 조심해요.

1
괄호를 풀어요. $-2(y-3)=-2y+6$ 이니까 식은 $18-2y+6=32$ 가 돼요.
2
상수끼리 정리해요. $24-2y=32$ 예요.
3
$y$ 항만 남겨요. 양변에서 $24$ 를 빼면 $-2y=8$ 이에요.
4
나눠서 구해요. 양변을 $-2$ 로 나누면 $y=-4$ 예요.
5
검산해요. $18-2(-4-3)=18-2(-7)=18+14=32$ 로 맞아요.

답

$y=-4$

자주 하는 실수

$-2\times(-3)$ 의 부호를 놓쳐 $-2(y-3)$ 을 $-2y-6$ 으로 푸는 실수가 많아요. $-2\times(-3)=+6$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 2.2절 · 13번

# 일차방정식계산기본

3.OpenStax Elementary Algebra · 5.5절 · 5번우리말 풀이

무용 발표회 표 값이 어른은 15달러, 어린이는 7달러예요. 표는 모두 253장이 팔렸고 총 수입은 2,771달러였어요. 어른 표와 어린이 표는 각각 몇 장 팔렸나요?

영어 원문 보기

Tickets for a dance recital cost $15 for adults and $7 for children. The dance company sold 253 tickets and the total receipts were $2,771. How many adult tickets and how many child tickets were sold?

풀이 보기

구하려는 두 수(어른 표 수, 어린이 표 수)를 문자로 놓고 "장 수의 합"과 "금액의 합"으로 식 두 개를 세워요.

1
문자를 정해요. 어른 표를 $a$ 장, 어린이 표를 $c$ 장이라고 해요.
2
식을 세워요. 장 수의 합 $a+c=253$ , 금액의 합 $15a+7c=2771$ 이에요.
3
대입해요. 첫 식에서 $c=253-a$ 이니까 $15a+7(253-a)=2771$ 이에요. 정리하면 $8a+1771=2771$ 이에요.
4
풀어요. $8a=1000$ 이니까 $a=125$ , $c=253-125=128$ 이에요.
5
검산해요. $15\times125+7\times128=1875+896=2771$ 이고 $125+128=253$ 이에요.

답

어른 표 125장, 어린이 표 128장

자주 하는 실수

값이 큰 표가 더 많이 팔렸을 거라고 넘겨짚지 마세요. 식으로 풀면 어린이 표가 3장 더 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

There were 125 adult tickets and 128 children tickets sold.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.1절 · 15번

# 연립일차방정식활용보통

4.OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 33번우리말 풀이

완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $2c^2+c=6$ 을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve Quadratic Equations of the form ax² + bx + c = 0 by Completing the Square

In the following exercises, solve by completing the square.

$2{c}^{2}+c=6$

답 쓰고 채점

풀이 보기

이차항의 계수를 1로 만든 뒤, 일차항 계수의 절반의 제곱을 양변에 더해 $(c+\square)^2=$ 수 꼴로 만들어요.

1
이차항 계수를 1로 만들어요. 양변을 $2$ 로 나누면 $c^2+\dfrac12 c=3$ 이에요.
2
양변에 $\left(\dfrac12\cdot\dfrac12\right)^2=\dfrac1{16}$ 을 더해요. $c^2+\dfrac12c+\dfrac1{16}=3+\dfrac1{16}$ 이에요.
3
완전제곱식으로 써요. $\left(c+\dfrac14\right)^2=\dfrac{49}{16}$ 이에요.
4
제곱근을 취해요. $c+\dfrac14=\pm\dfrac74$ 예요.
5
두 해를 구해요. $c=-\dfrac14+\dfrac74=\dfrac32$ 또는 $c=-\dfrac14-\dfrac74=-2$ 예요.

답

$c=-2$ 또는 $c=\dfrac32$

자주 하는 실수

양변을 $2$ 로 나누지 않고 $2c^2+c$ 에 바로 $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ 을 더하면 $2c^2+c+\dfrac14$ 은 완전제곱식이 안 돼요. 이차항 계수를 먼저 1로 만들어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$c=-2,c=\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 29번

# 이차방정식계산보통

5.OpenStax Algebra and Trigonometry · 2.2절 · 13번우리말 풀이

$x$ 에 대한 방정식 $3(2x-1)+x=5x+3$ 을 푸세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve the equation for $x.$

$3(2x-1)+x=5x+3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

괄호를 풀고 $x$ 항은 한쪽으로, 숫자는 다른 쪽으로 모아 $ax=b$ 꼴로 만들어요.

1
괄호를 풀어요. $3(2x-1)=6x-3$ 이므로 식은 $6x-3+x=5x+3$ 이에요.
2
왼쪽을 정리해요. $6x+x=7x$ 이니까 $7x-3=5x+3$ 이에요.
3
$x$ 항을 한쪽으로 모아요. 양쪽에서 $5x$ 를 빼고 $3$ 을 더하면 $2x=6$ 이에요.
4
나누어 답을 구해요. $x=3$ . 처음 식에 넣어 확인하면 왼쪽은 $3\cdot 5+3=18$ , 오른쪽은 $15+3=18$ 로 같아요.

답

$x=3$

자주 하는 실수

$3(2x-1)$ 을 풀 때 $-1$ 에도 $3$ 을 곱해야 하는데 $6x-1$ 로 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$x=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 9.4절 · 39번

# 일차방정식계산기본

6.OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.1절 · 15번우리말 풀이

대입법으로 다음 연립방정식을 푸세요.

$\begin{cases}-2x+3y=1.2\\-3x-6y=1.8\end{cases}$

영어 원문 보기

For the following exercises, solve each system by substitution.

$\begin{array}{c}-2x+3y=1.2 \\ -3x-6y=1.8\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

한 식을 $y=\cdots$ 꼴로 만들어 다른 식에 넣으면 미지수가 하나인 일차방정식이 돼요.

1
한 식을 $y$ 에 대해 풀어요. 첫째 식 $-2x+3y=1.2$ 에서 $3y=1.2+2x$ 이므로 $y=0.4+\dfrac{2}{3}x$ 예요.
2
둘째 식에 대입해요. $-3x-6\left(0.4+\dfrac{2}{3}x\right)=1.8$ 이고 괄호를 풀면 $-3x-2.4-4x=1.8$ 이에요.
3
$x$ 를 구해요. $-7x=4.2$ 이므로 $x=-0.6=-\dfrac{3}{5}$ 예요.
4
$y$ 를 구해요. $y=0.4+\dfrac{2}{3}\cdot(-0.6)=0.4-0.4=0$ 이에요.
5
검산해요. 둘째 식에 넣으면 $-3(-0.6)-6\cdot 0=1.8$ 로 맞아요.

답

$(x,y)=\left(-\dfrac{3}{5},\,0\right)$

자주 하는 실수

$6\left(\dfrac{2}{3}x\right)=4x$ 인데 $-6$ 을 곱하는 부호 처리를 놓쳐 $-3x+4x$ 로 쓰는 실수가 있어요. $-6y$ 이므로 $-4x$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left(-\frac{3}{5},0\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 4.1절 · 55번

# 연립일차방정식계산보통

7.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 1번우리말 번역

$\text{Evaluate}\,x+8\,\text{when}\,x=11.$

영어 원문 보기

$\text{Evaluate}\,x+8\,\text{when}\,x=11.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$19$

원본 교재 풀이(영어)

$19$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 3.1절 · 1번

# 일차방정식계산자동 분류

8.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 2번우리말 번역

$\text{Evaluate}\,5x-3\,\text{when}\,x=9.$

영어 원문 보기

$\text{Evaluate}\,5x-3\,\text{when}\,x=9.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$42$

원본 교재 풀이(영어)

$42$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 3.5절 · 4번

# 일차방정식계산자동 분류

9.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 3번우리말 번역

$x$ 와 $8$ 의 차를 식으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Translate into algebra: the difference of $x$ and $8.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x-8$

원본 교재 풀이(영어)

$x-8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 2.6절 · 2번

# 일차방정식계산자동 분류

10.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 1번우리말 번역

$\text{Determine whether}\,x=5\,\text{is a solution of}\,6x-17=16.$

영어 원문 보기

$\text{Determine whether}\,x=5\,\text{is a solution of}\,6x-17=16.$

정답·풀이 보기




곱하세요.
빼세요.

따라서 $x=5$ 는 방정식 $6x-17=16$ 의 해가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)




Multiply.
Subtract.

So $x=5$ is not a solution to the equation $6x-17=16.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 9.1절 · 11번

# 일차방정식계산자동 분류

11.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 1번우리말 번역

$\text{Is}\,x=3\,\text{a solution of}\,4x-7=16?$

영어 원문 보기

$\text{Is}\,x=3\,\text{a solution of}\,4x-7=16?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

no

원본 교재 풀이(영어)

no

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 3.3절 · 41번

# 일차방정식계산자동 분류

12.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 2번우리말 번역

$\text{Is}\,x=2\,\text{a solution of}\,6x-2=10?$

영어 원문 보기

$\text{Is}\,x=2\,\text{a solution of}\,6x-2=10?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 9.1절 · 31번

# 일차방정식계산자동 분류

13.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 2번우리말 번역

$\text{Determine whether}\,y=2\,\text{is a solution of}\,6y-4=5y-2.$

영어 원문 보기

$\text{Determine whether}\,y=2\,\text{is a solution of}\,6y-4=5y-2.$

정답·풀이 보기

여기서는 변수가 방정식의 양변에 모두 나타난다. 각각의 $y$ 에 $2$ 를 대입해야 한다.




곱하세요.
빼세요.

$y=2$ 를 대입하면 참인 등식이 되므로, $2$ 는 방정식 $6y-4=5y-2$ 의 해임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Here, the variable appears on both sides of the equation. We must substitute $2$ for each $y.$




Multiply.
Subtract.

Since $y=2$ results in a true equation, we know that $2$ is a solution to the equation $6y-4=5y-2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 8.1절 · 49번

# 일차방정식계산자동 분류

14.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 3번우리말 번역

$\text{Is}\,y=3\,\text{a solution of}\,9y-2=8y+1?$

영어 원문 보기

$\text{Is}\,y=3\,\text{a solution of}\,9y-2=8y+1?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 8.4절 · 3번

# 일차방정식계산자동 분류

15.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 4번우리말 번역

$\text{Is}\,y=4\,\text{a solution of}\,5y-3=3y+5?$

영어 원문 보기

$\text{Is}\,y=4\,\text{a solution of}\,5y-3=3y+5?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Prealgebra · 9.1절 · 33번

# 일차방정식계산자동 분류

16.OpenStax Prealgebra · 2.3절 · 3번우리말 번역

봉투와 바둑돌로 나타낸 방정식을 쓰고, 그 방정식을 푸세요:

그림이 세로로 반으로 나뉘어 있다. 왼쪽에는 봉투가 있고 그 아래에 바둑돌 4개가 있다. 오른쪽에는 바둑돌 5개가 있다.

영어 원문 보기

Write an equation modeled by the envelopes and counters, and then solve the equation:

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with 4 counters below it. On the right side is 5 counters.

정답·풀이 보기


왼쪽에는 봉투 안의 내용물을 $x$ 로 쓰고 바둑돌 $4$ 개를 더하면 $x+4$ 이다.	$x+4$
오른쪽에는 바둑돌이 $5$ 개 있다.	$5$
양변은 서로 같다.	$x+4=5$
양변에서 바둑돌 $4$ 개씩을 빼서 방정식을 푼다.

그림은 두 부분으로 되어 있다. 왼쪽에는 세로로 반으로 나뉜 직사각형이 있다. 직사각형의 왼쪽 칸에는 봉투가 있고 그 아래에 바둑돌 4개가 있다. 이 바둑돌 4개는 빨간색으로 동그라미가 쳐져 있고, 직사각형 밖을 향하는 화살표가 있다. 오른쪽 칸에는 바둑돌 5개가 있고, 아래쪽 바둑돌 4개에 빨간색 동그라미가 쳐져 있으며 직사각형 밖을 향하는 화살표가 있다. 동그라미 친 바둑돌 4개를 직사각형의 양쪽에서 없애면 그림 오른쪽에 새로운 직사각형이 만들어지는데, 이것도 세로로 반으로 나뉘어 있다. 직사각형의 왼쪽 칸에는 봉투만 있고, 오른쪽 칸에는 바둑돌 1개가 있다.

봉투 안에 바둑돌이 한 개 있음을 알 수 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다:

그림에는 주어진 방정식 x 더하기 4는 5와 같다가 나타나 있다. 방정식의 양변에서 4를 빼면 x 더하기 4 빼기 4는 5 빼기 4와 같다가 된다. 왼쪽에서는 더하기 4와 빼기 4가 서로 없어져 x만 남는다. 오른쪽에서는 5 빼기 4는 1이다. 방정식은 x는 1과 같다가 된다.

방정식의 $x$ 에 $1$ 을 대입하여 확인한다.

그림에는 처음 방정식 x 더하기 4는 5와 같다가 나타나 있다. 확인하기 위해 x에 1을 대입한다. 방정식은 1 더하기 4는 5와 같다가 된다. 이것은 참인가? 왼쪽은 1과 4를 더하면 5로 간단해진다. 등호의 양쪽이 모두 5이다.

$x=1$ 일 때 등식이 참이므로, $1$ 은 정말 해임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)


On the left, write $x$ for the contents of the envelope, add the $4$ counters, so we have $x+4$ .	$x+4$
On the right, there are $5$ counters.	$5$
The two sides are equal.	$x+4=5$
Solve the equation by subtracting $4$ counters from each side.

We can see that there is one counter in the envelope. This can be shown algebraically as:

The image shows the given equation, x plus 4 equal to 5. Take 4 away from both sides of the equation to get x plus 4 minus 4 equal to 5 minus 4. On the left, plus 4 and minus 4 cancel out to leave just x. On the right 5 minus 4 is 1. The equation becomes x equal to 1.

Substitute $1$ for $x$ in the equation to check.

The image shows the original equation, x plus 4 equal to 5. Substitute 1 in for x to check. The equation becomes 1 plus 4 equal to 5. Is this true? The left side simplifies by adding 1 and 4 to get 5. Both sides of the equal symbol are 5.

Since $x=1$ makes the statement true, we know that $1$ is indeed a solution.