다변수 미분 전체 연습문제

21.CLP-3 · 2.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)$ 를 생각하세요.

(a) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 $f$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향을 구하세요. (b) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면

$S = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y,z) = 1\ \big\}$

에 접하는 평면 $T$ 의 방정식을 구하세요. (c) $T$ 와 점 $(0, 1, 0)$ 사이의 거리를 구하세요. (d) 평면 $T$ 와 평면

$P = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x + z = 0\ \big\}$

가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)$ .

(a) Give the direction in which $f$ is increasing the fastest at the point $(1, 0, \pi/2)$ . (b) Give an equation for the plane $T$ tangent to the surface

$S = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y,z) = 1\ \big\}$

at the point $(1, 0, \pi/2)$ . (c) Find the distance between $T$ and the point $(0, 1, 0)$ . (d) Find the angle between the plane $T$ and the plane

$P = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x + z = 0\ \big\}.$

정답·풀이 보기

$f$ 의 1계 편도함수를 임의의 점 $(x,y,z)$ 에서와 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 각각 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&= 2x\qquad & f_x(1, 0, \pi/2)&= 2 \\ f_y(x,y,z)&= -z\sin(yz)\qquad & f_y(1, 0, \pi/2)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&= -y\sin(yz)\qquad & f_z(1, 0, \pi/2)&= 0 \end{aligned}$

(a) $f$ 의 증가율이 가장 큰 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 의 방향이다. 그 방향의 단위벡터는 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다.

(b) 기울기 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 는 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면 $f=1$ 의 법선벡터이다. 따라서 구하는 접평면은

$\begin{aligned} \left< 2,0,0\right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\,z-\pi/2\right>=0\qquad\text{또는}\qquad x=1 \end{aligned}$

이다.

(c) 점 $(0,1,0)$ 에서 $T$ 위의 점 $(1,1,0)$ 으로 향하는 벡터는 $\left< 1,0,0\right>$ 이고, 이 벡터는 $T$ 에 수직이다. 따라서 $(1,1,0)$ 은 $T$ 위의 점 중 $(0,1,0)$ 에 가장 가까운 점이고, $(0,1,0)$ 에서 $T$ 까지의 거리는 $|\left< 1,0,0\right>|=1$ 이다.

(d) 벡터 $\left< 1,0,1\right>$ 은 평면 $x+z=0$ 에 수직이다. 따라서 두 평면 $T$ 와 $x+z=0$ 이 이루는 각은 두 벡터 $\left< 1,0,0\right>$ 과 $\left< 1,0,1\right>$ 이 이루는 각 $\theta$ 와 같고, 이 각은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} & |\left< 1,0,0\right>| \ |\left< 1,0,1\right>|\ \cos\theta =|\left< 1,0,0\right>\cdot\left< 1,0,1\right>| =1 \\ &\implies \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The first order partial derivatives of $f$ , both at a general point $(x,y,z)$ and at the point $(1, 0, \pi/2)$ , are

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&= 2x\qquad & f_x(1, 0, \pi/2)&= 2 \\ f_y(x,y,z)&= -z\sin(yz)\qquad & f_y(1, 0, \pi/2)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&= -y\sin(yz)\qquad & f_z(1, 0, \pi/2)&= 0 \end{aligned}$

(a) The rate of increase of $f$ is largest in the direction of ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ . A unit vector in that direction is $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ .

(b) The gradient vector ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ is a normal vector to the surface $f=1$ at $(1, 0, \pi/2)$ . So the specified tangent plane is

$\begin{aligned} \left< 2,0,0\right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\,z-\pi/2\right>=0\qquad\text{or}\qquad x=1 \end{aligned}$

(c) The vector from the point $(0,1,0)$ to the point $(1,1,0)$ , on $T$ , is $\left< 1,0,0\right>$ , which is perpendicular to $T$ . So $(1,1,0)$ is the point on $T$ nearest $(0,1,0)$ and the distance from $(0,1,0)$ to $T$ is $|\left< 1,0,0\right>|=1$ .

(d) The vector $\left< 1,0,1\right>$ is perpendicular to the plane $x+z=0$ . So the angle between the planes $T$ and $x+z=0$ is the same as the angle $\theta$ between the vectors $\left< 1,0,0\right>$ and $\left< 1,0,1\right>$ , which obeys

$\begin{aligned} & |\left< 1,0,0\right>| \ |\left< 1,0,1\right>|\ \cos\theta =|\left< 1,0,0\right>\cdot\left< 1,0,1\right>| =1 \\ &\implies \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 32번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

22.CLP-3 · 2.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

함수 $T(x,y,z)$ 가 $P = (2,1,1)$ 에서 $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , $T_z(P) = 3$ 임이 알려져 있다.

(a) 꿀벌이 $P$ 에서 출발하여 점 $Q = (3,2,2)$ 를 향하는 단위벡터를 따라 날아간다. 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사를 이용하여 $T(1.9,1,1.2)$ 를 어림하세요. (c) $S(x,y,z) = x + z$ 라 하자. 꿀벌이 $P$ 에서 출발할 때, 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율과 $S(x,y,z)$ 의 변화율이 모두 0이 되려면 어느 단위벡터 방향으로 날아가야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A function $T(x,y,z)$ at $P = (2,1,1)$ is known to have $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , and $T_z(P) = 3$ .

(a) A bee starts flying at $P$ and flies along the unit vector pointing towards the point $Q = (3,2,2)$ . What is the rate of change of $T(x,y,z)$ in this direction? (b) Use the linear approximation of $T$ at the point $P$ to approximate $T(1.9,1,1.2)$ . (c) Let $S(x,y,z) = x + z$ . A bee starts flying at $P$ ; along which unit vector direction should the bee fly so that the rate of change of $T(x,y,z)$ and of $S(x,y,z)$ are both zero in this direction?

정답·풀이 보기

(a) $P=(2,1,1)$ 에서 $Q=(3,2,2)$ 로 향하는 단위벡터 방향으로의 $T$ 의 방향도함수를 구하는 문제이다. 이 단위벡터는 $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 방향도함수는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

이다. 여기에 $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ 를 대입하면

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

이다.

(c) $T$ 의 변화율이 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ 에 수직이어야 한다. $S$ 의 변화율도 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ 에도 수직이어야 한다. 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ 와 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ 에 모두 수직이다. 따라서 구하는 단위벡터는 $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are being asked for the directional derivative of $T$ in the direction of the unit vector from $P=(2,1,1)$ to $Q=(3,2,2)$ , which is $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ . That directional derivative is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

(b) The linear approximation to $T$ at $P$ is

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

Applying this with $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ gives

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

(c) For the rate of change of $T$ to be zero, the direction of motion must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ . For the rate of change of $S$ to also be zero, the direction of motion must also be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ . The vector

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

is perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ . So the desired unit vectors are $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 31번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

23.CLP-3 · 2.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

함수 $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ 와 $G(x,y,z)=3x-y+4z$ 를 생각하세요. 당신은 점 $P(0,1,2)$ 에 서 있습니다.

(a) $P$ 에서 $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ 로 뛰어갑니다. 선형 근사를 이용하여 $F$ 가 변하는 양을 대략 구하세요. (b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 뛰어갑니다. $F$ 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. (c) $P$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 변화율이 모두 0 인 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 뛰어갑니다. 이러한 방향의 예를 하나 구하세요(단위벡터일 필요는 없습니다).

영어 원문 보기

Consider the functions $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ and $G(x,y,z)=3x-y+4z$ . You are standing at the point $P(0,1,2)$ .

(a) You jump from $P$ to $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ . Use the linear approximation to determine approximately the amount by which $F$ changes. (b) You jump from $P$ in the direction along which $G$ increases most rapidly. Will $F$ increase or decrease? (c) You jump from $P$ in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ along which the rates of change of $F$ and $G$ are both zero. Give an example of such a direction (need not be a unit vector).

정답·풀이 보기

$(0,1,2)$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 기울기벡터가 모두 필요하다. 따라서 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

그러면

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

이다.

(a) $(0,1,2)$ 에서 $F$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

이다. 특히

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 이다. 그 방향으로의 $F$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $F$ 는 증가한다.

(c) $F$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ 에 수직이어야 한다.

$G$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 에 수직이어야 한다.

따라서 0이 아닌 임의의 상수 곱

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

이 조건을 만족하는 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the gradients of both $F$ and $G$ at $(0,1,2)$ . So we compute

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

and then

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

(a) The linear approximation to $F$ at $(0,1,2)$ is

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

(b) The direction along which $G$ increases most rapidly at $P$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ . The directional derivative of $F$ in that direction is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

So $F$ increases.

(c) For the rate of change of $F$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ .

For the rate of change of $G$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ .

So any nonzero constant times

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

is an allowed direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 42번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

24.CLP-3 · 2.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

유성이 캐나다 중심부 지역의 땅에 떨어진다. 위성 사진을 이용하여, 그 결과로 생긴 크레이터의 모델

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

을 만들고, 이 장소를 관광 명소로 바꾸는 계획을 세운다. 주차장은 $(4,5)$ 에 만들고 등산로도 만들 예정이다. 등산로는 주차장에서 시작하여 크레이터 바닥까지 가장 가파른 경로를 따라 간다.

(a) 주차장, 함수 $f$ 의 등고선 몇 개, 그리고 등산로가 분명하게 표시된 계획 부지의 지도를 그리세요. (b) 등산로는 주차장에서 어느 방향으로 출발하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A meteor strikes the ground in the heartland of Canada. Using satellite photographs, a model

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

of the resulting crater is made and a plan is drawn up to convert the site into a tourist attraction. A car park is to be built at $(4,5)$ and a hiking trail is to be made. The trail is to start at the car park and take the steepest route to the bottom of the crater.

(a) Sketch a map of the proposed site clearly marking the car park, a few level curves for the function $f$ and the trail. (b) In which direction does the trail leave the car park?

정답·풀이 보기

(a)

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

이므로 크레이터의 바닥은 $x=-1$ , $y=0$ (분모가 최소가 되는 곳)에 있고, 등고선(등위곡선)은 방정식이 $(x+1)^2+4y^2=C$ 인 타원이다. 아래 그림에서 속이 찬 점은 크레이터의 바닥을, 속이 빈 점은 주차장을 나타낸다. 그린 등고선은 (안쪽부터 바깥쪽으로) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ 이다. 등산로가 등고선과 직각으로 만남에 유의한다.

(b) 등산로는

${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$

와 평행하다. 주차장에서는 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ 이다. 크레이터의 바닥을 향해 가려면 $-\left< 1,4\right>$ 방향으로 출발해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

the bottom of the crater is at $x=-1$ , $y=0$ (where the denominator is a minimum) and the contours (level curves) are ellipses having equations $(x+1)^2+4y^2=C$ . In the sketch below, the filled dot represents the bottom of the crater and the open dot represents the car park. The contours sketched are (from inside out) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ . Note that the trail crosses the contour lines at right angles.

(b) The trail is to be parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$ At the car park ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ . To move towards the bottom of the crater, we should leave in the direction $-\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 33번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석도전자동 분류

25.CLP-3 · 2.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

당신은 지수 사막 한가운데에 있는 외딴 야자나무 옆에 서 있습니다. 주변 모래언덕의 높이는 미터 단위로 다음과 같이 주어집니다. $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ 여기서 $x$ 는 야자나무에서 동쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $x$ 가 음수이면 서쪽을 뜻하고, $y$ 는 야자나무에서 북쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $y$ 가 음수이면 남쪽을 뜻합니다.

(a) 동쪽으로 $3$ 미터, 북쪽으로 2 미터 걸어갔다고 하자. 새 위치 $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (b) (a)에서 구한 위치에서 북쪽으로 걸어가면 모래언덕 높이의 순간변화율은 얼마인지 구하세요. (c) $(3,2)$ 에 서 있을 때, 같은 높이를 유지하려면 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요. (d) 곡선 위의 각 점에서 항상 가장 가파르게 내려가는 방향을 향하도록 따라 움직여야 할 곡선 중 $(3,2)$ 를 지나는 곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a lone palm tree in the middle of the Exponential Desert. The height of the sand dunes around you is given in meters by $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ where $x$ represents the number of meters east of the palm tree (west if $x$ is negative) and $y$ represents the number of meters north of the palm tree (south if $y$ is negative).

(a) Suppose that you walk $3$ meters east and 2 meters north. At your new location, $(3,2)$ , in what direction is the sand dune sloping most steeply downward? (b) If you walk north from the location described in part (a), what is the instantaneous rate of change of height of the sand dune? (c) If you are standing at $(3,2)$ in what direction should you walk to ensure that you remain at the same height? (d) Find the equation of the curve through $(3,2)$ that you should move along in order that you are always pointing in a steepest descent direction at each point of this curve.

정답·풀이 보기

다음을 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ 이고, 특히 } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 와 반대 방향, 즉 $\left< 3,4\right>$ 의 (임의의 양의 배수) 방향이다.

(b) 변화율은 $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ 이다.

(c) 같은 높이를 유지하려면 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. 따라서 $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ 중 한 방향으로 걸어야 한다.

(d) 가장 가파르게 내려가는 곡선을 따라 걷고 있다고 하자. 그러면 $(x,y)$ 에서 $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ 로 향하는 방향(단, $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 무한소)은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ 와 반대여야 한다. 따라서 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 $(x,2y)$ 와 평행해야 하므로 기울기는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

점 $(3,2)$ 를 지나려면 $\ln 2=2\ln 3+C$ 를 만족하도록 $C$ 를 택해야 한다. 따라서 $C=\ln\frac{2}{9}$ 이고 곡선은 $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ 즉 $y=\frac{2}{9}x^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ and, in particular, } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) At $(3,2)$ the dune slopes downward the most steeply in the direction opposite ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ , which is (any positive multiple of) $\left< 3,4\right>$ .

(b) The rate is $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ .

(c) To remain at the same height, you should walk perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ . So you should walk in one of the directions $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ .

(d) Suppose that you are walking along a steepest descent curve. Then the direction from $(x,y)$ to $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ , with $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ infinitesmal, must be opposite to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ . Thus $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ must be parallel to $(x,2y)$ so that the slope

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

We must choose $C$ to obey $\ln 2=2\ln 3+C$ in order to pass through the point $(3,2)$ . Thus $C=\ln\frac{2}{9}$ and the curve is $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ or $y=\frac{2}{9}x^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 30번

# 방향도함수와 기울기벡터활용도전자동 분류

26.CLP-3 · 2.8절 · 11번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y,z)$ 에서 원점 $(0,0,0)$ 까지의 거리는

$r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

이다. $n$ 이 실수 상수일 때, 모든 $(x,y,z)\ne (0,0,0)$ 에 대해 라플라스 방정식

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

을 만족하는 함수 $u(x,y,z) = r(x,y,z)^n$ 을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

The distance from the point $(x,y,z)$ to the origin $(0,0,0)$ is

$r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Find all functions $u(x,y,z) = r(x,y,z)^n$ , with $n$ being a real constant, that obey Laplace's equation

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

for all $(x,y,z)\ne (0,0,0)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

편미분방정식에 대입하기 위해 $u_{xx}$ , $u_{yy}$ , $u_{zz}$ 를 계산한다.

$\begin{aligned} u(x,y,z) &= r(x,y,z)^n = \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2} \\ u_x(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial x}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= nx\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{xx}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + nx\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2x) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)x^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ u_y(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial y}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= ny\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{yy}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + ny\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2y) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)y^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ u_z(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial z}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= nz\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{zz}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + nz\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2z) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)z^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} &=3n\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)\ (x^2+y^2+z^2) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ &=3n\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ &=[3n+n^2-2n]\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \end{aligned}$

이 값이 0이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$n+n^2=n(1+n)=0 \iff n=0,-1$

원본 교재 풀이(영어)

In preparation for substituting into the PDE, we compute $u_{xx}$ , $u_{yy}$ and $u_{zz}$ .

$\begin{aligned} u(x,y,z) &= r(x,y,z)^n = \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2} \\ u_x(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial x}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= nx\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{xx}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + nx\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2x) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)x^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ u_y(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial y}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= ny\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{yy}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + ny\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2y) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)y^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ u_z(x,y,z)&= \frac{n}{2}\,\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1}\ \frac{\partial }{\partial z}\big(x^2+y^2+z^2\big) \\ &= nz\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ u_{zz}(x,y,z)&= n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} + nz\ (n/2-1) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} (2z) \\ &=n\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)z^2 \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} &=3n\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)\ (x^2+y^2+z^2) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-2} \\ &=3n\big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} +n(n-2)\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \\ &=[3n+n^2-2n]\ \big(x^2+y^2+z^2\big)^{n/2-1} \end{aligned}$

This is zero if and only if

$n+n^2=n(1+n)=0 \iff n=0,-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 10번

# 편미분방정식 맛보기계산도전자동 분류

27.CLP-3 · 2.8절 · 13번대학 수준우리말 번역

$u(x,y)$ 가 편미분방정식

$\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$

을 만족한다고 하자. 여기서 $\alpha (x,y)$ 와 $\beta (x,y)$ 는 주어진 함수이다. $\big(X(t),Y(t)\big)$ 를 $xy$ 평면 위의 곡선(이러한 곡선을 이 편미분방정식의 특성곡선이라고 한다.)이라 하고, 이 곡선이

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha \big(X(t),Y(t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t)&=\beta \big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

을 만족한다고 하자. $u$ 가 그 곡선을 따라 상수임을 보이세요. 즉, $u\big(X(t),Y(t)\big)$ 가 $t$ 에 무관함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that $u(x,y)$ obeys the PDE

$\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$

where $\alpha (x,y)$ and $\beta (x,y)$ are given functions. Let $\big(X(t),Y(t)\big)$ be a curve (Such curves are called characteristics of the PDE.) in the $xy$ -plane that obeys

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha \big(X(t),Y(t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t)&=\beta \big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

Show that $u$ is constant along that curve. That is, show that $u\big(X(t),Y(t)\big)$ is independent of $t$ .

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big) &=u_x\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t) +u_y\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t) \\ &=\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

그런데 $\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$ 에 $x=X(t)$ , $y=Y(t)$ 를 대입하면

$\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) =0$

이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big)=0$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big) &=u_x\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t) +u_y\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t) \\ &=\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

But evaluating $\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$ at $x=X(t)$ , $y=Y(t)$ gives

$\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) =0$

so

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 11번

# 편미분방정식 맛보기증명·논술도전자동 분류

28.CLP-3 · 2.8절 · 14번대학 수준우리말 번역

(a) $u(x,y)$ 가 편미분방정식 $3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$ 를 만족한다고 하자. $v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ 로 정의할 때, $v$ 가 만족하는 편미분방정식을 구하세요. (b) $u(x,y)$ 가 편미분방정식 $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ 를 만족한다고 하자. $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ 로 정의할 때, $v$ 가 만족하는 편미분방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Suppose that $u(x,y)$ obeys the PDE $3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$ . Define $v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ . Find a PDE that $v$ obeys. (b) Suppose that $u(x,y)$ obeys the PDE $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ . Define $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ . Find a PDE that $v$ obeys.

정답·풀이 보기

(a) $u(x,y)$ 가 편미분방정식

$3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$

을 만족한다고 하자.

$v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ 로 정의하자. 그러면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Y+2X)\big] \\ &=u_x(X, Y+2X) +2u_y(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3}\big\{3u_x(X, Y+2X) + 6u_y(X, Y+2X)\big\} \\ &=\frac{1}{3} u(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3} v(X,Y) \end{aligned}$

이다.

(b) $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ 로 정의하자. 그러면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Xe^Y)\big] \\ &=u_x(X, Xe^Y) +e^Yu_y(X, Xe^Y) \end{aligned}$

이다.

이제 $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ 이면, $x=X$ , $y=Xe^Y$ 에서의 값을 생각할 때

$Xu_x(X, Xe^Y) + Xe^Yu_y(X, Xe^Y)=u(X, Xe^Y)$

임에 주목하자.

따라서

$\begin{aligned} v_X(X,Y) &=\frac{1}{X}\big\{X u_x(X, Xe^Y) +X e^Y u_y(X, Xe^Y) \big\} \\ &=\frac{1}{X} u(X, Xe^Y) \\ &=\frac{1}{X} v(X,Y) \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Suppose that $u(x,y)$ obeys the PDE

$3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$

Define $v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ . Then, by the chain rule,

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Y+2X)\big] \\ &=u_x(X, Y+2X) +2u_y(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3}\big\{3u_x(X, Y+2X) + 6u_y(X, Y+2X)\big\} \\ &=\frac{1}{3} u(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3} v(X,Y) \end{aligned}$

(b) Define $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ . Then, by the chain rule,

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Xe^Y)\big] \\ &=u_x(X, Xe^Y) +e^Yu_y(X, Xe^Y) \end{aligned}$

Now notice that if $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ , then, evaluating at $x=X$ and $y=Xe^Y$ gives

$Xu_x(X, Xe^Y) + Xe^Yu_y(X, Xe^Y)=u(X, Xe^Y)$

So

$\begin{aligned} v_X(X,Y) &=\frac{1}{X}\big\{X u_x(X, Xe^Y) +X e^Y u_y(X, Xe^Y) \big\} \\ &=\frac{1}{X} u(X, Xe^Y) \\ &=\frac{1}{X} v(X,Y) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 3번

# 편미분방정식 맛보기계산도전자동 분류

29.CLP-3 · 2.9절 · 32번대학 수준우리말 번역

$xy$ 평면 위의 한 점에서의 온도 $T(x,y)$ 가 다음과 같이 주어져 있다.

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2$

(a) $x^2 + y^2 \le 4$ 로 정의된 원판 $D$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. (b) 개미가 원판 $D$ 위에 산다고 하자. 개미가 처음에 점 $(1, 1)$ 에 있다면, 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 어느 방향으로 움직여야 하는지 구하세요. (c) 개미가 속도 $\mathbf{v} = \left< -2, -1\right>$ 로 움직인다고 하자. 개미가 $(1, 1)$ 을 지날 때 온도의 증가율을 구하세요. (d) 개미가 곡선 $y = 2 - x^2$ 위에만 머물러야 한다고 하자. 개미가 가능한 한 따뜻하기를 원한다면 어디로 가야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature $T(x,y)$ at a point of the $xy$ –plane is given by

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2$

(a) Find the maximum and minimum values of $T(x,y)$ on the disk $D$ defined by $x^2 + y^2 \le 4$ . (b) Suppose an ant lives on the disk $D$ . If the ant is initially at point $(1, 1)$ , in which direction should it move so as to increase its temperature as quickly as possible? (c) Suppose that the ant moves at a velocity $\mathbf{v} = \left< -2, -1\right>$ . What is its rate of increase of temperature as it passes through $(1, 1)$ ? (d) Suppose the ant is constrained to stay on the curve $y = 2 - x^2$ . Where should the ant go if it wants to be as warm as possible?

정답·풀이 보기

(a) 최댓값과 최솟값은 원판의 내부 또는 원판의 경계에서 나타날 수 있다. 원판의 경계는 원 $x^2+y^2=4$ 이다.

원판 내부에서의 절대 최댓값 또는 절대 최솟값은 반드시 극댓값 또는 극솟값이기도 하고, 특이점이 없으므로 $h$ 의 임계점이기도 하다. $T_x=-8x$ , $T_y=-2y$ 이므로 유일한 임계점은 $(x,y)=(0,0)$ 이고, 이때 $T=20$ 이다. $4x^2+y^2\ge 0$ 이므로 $T(x,y)=20-4x^2-y^2\le 20$ 이다. 따라서 $T$ 의 최댓값은 ( $\mathbb{R}^2$ 전체에서도) $20$ 이다.
$x^2+y^2=4$ 위의 각 점에서 $T(x,y)=20-4x^2-y^2=20 -4x^2-(4-x^2)=16-3x^2$ 이고 $-2\le x\le 2$ 이다. 따라서 $x^2$ 이 최대일 때 $T$ 는 최소이다. 그러므로 원판에서 $T$ 의 최솟값은 $16-3(\pm 2)^2=4$ 이다.

따라서 종합하면, $x^2+y^2\le 4$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 $20$ (점 $(0,0)$ 에서), $4$ (점 $(\pm 2,0)$ 에서)이다.

(b) 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 개미는 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직여야 한다. ${ \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)=\left< -8x,-2y\right>\Big|_{(x,y)=(1,1)}=\left< -8,-2\right>$ . 이 방향의 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{17}}\left< -4,-1\right>$ 이다.

(c) 개미의 (단위 시간당) 온도 증가율은 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot\left< -2,-1\right> =\left< -8,-2\right>\cdot\left< -2,-1\right> =18 \end{aligned}$

(d) 다음을 최대로 하는 $(x,y)=(x,2-x^2)$ 을 구하는 문제이다.

$\begin{aligned} T\big(x,2-x^2\big) =20 -4x^2-\big(2-x^2\big)^2 = 16-x^4 \end{aligned}$

$16-x^4$ 의 최댓값은 $x=0$ 일 때 $16$ 임이 분명하다. 따라서 개미는 $\big(0,2-0^2\big)=(0,2)$ 로 가야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The maximum and minimum can occur either in the interior of the disk or on the boundary of the disk. The boundary of the disk is the circle $x^2+y^2=4$ .

Any absolute max or min in the interior of the disk must also be a local max or min and, since there are no singular points, must also be a critical point of $h$ . Since $T_x=-8x$ and $T_y=-2y$ , the only critical point is $(x,y)=(0,0)$ , where $T=20$ . Since $4x^2+y^2\ge 0$ , we have $T(x,y)=20-4x^2-y^2\le 20$ . So the maximum value of $T$ (even in $\mathbb{R}^2$ ) is $20$ .
At each point of $x^2+y^2=4$ we have $T(x,y)=20-4x^2-y^2=20 -4x^2-(4-x^2)=16-3x^2$ with $-2\le x\le 2$ . So $T$ is a minimum when $x^2$ is a maximum. Thus the minimum value of $T$ on the disk is $16-3(\pm 2)^2=4$ .

So all together, the maximum and minimum values of $T(x,y)$ in $x^2+y^2\le 4$ are $20$ (at $(0,0)$ ) and $4$ (at $(\pm 2,0)$ ), respectively.

(b) To increase its temperature as quickly as possible, the ant should move in the direction of the temperature gradient ${ \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)=\left< -8x,-2y\right>\Big|_{(x,y)=(1,1)}=\left< -8,-2\right>$ . A unit vector in that direction is $\frac{1}{\sqrt{17}}\left< -4,-1\right>$ .

(c) The ant's rate f increase of temperature (per unit time) is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot\left< -2,-1\right> =\left< -8,-2\right>\cdot\left< -2,-1\right> =18 \end{aligned}$

(d) We are being asked to find the $(x,y)=(x,2-x^2)$ which maximizes

$\begin{aligned} T\big(x,2-x^2\big) =20 -4x^2-\big(2-x^2\big)^2 = 16-x^4 \end{aligned}$

The maximum of $16-x^4$ is obviously $16$ at $x=0$ . So the ant should go to $\big(0,2-0^2\big)=(0,2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 8번

# 극값과 안장점활용도전자동 분류

30.CLP-3 · 2.9절 · 34번대학 수준우리말 번역

(a) 함수 $f(x,y)=2x+4y+\frac{1}{xy}$ 가 제1사분면 $x>0$ , $y>0$ 에서 임계점을 정확히 하나만 가짐을 보이고, 그 점에서의 함숫값을 구하세요. (b) 이차 도함수 판정법을 이용하여 (a)에서 구한 임계점의 종류를 판별하세요. (c) 이로부터 부등식 $2x+4y+\frac{1}{xy}\ge 6$ 이 모든 양의 실수 $x$ , $y$ 에 대해 성립하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

(a) Show that the function $f(x,y)=2x+4y+\frac{1}{xy}$ has exactly one critical point in the first quadrant $x>0$ , $y>0$ , and find its value at that point. (b) Use the second derivative test to classify the critical point in part (a). (c) Hence explain why the inequality $2x+4y+\frac{1}{xy}\ge 6$ is valid for all positive real numbers $x$ and $y$ .

정답·풀이 보기

(a) $x,y>0$ 에서

$\begin{aligned} f_x&=2-\frac{1}{x^2y}=0\iff y=\frac{1}{2x^2}\\ f_y&=4-\frac{1}{xy^2}=0 \end{aligned}$

첫째 식에서 얻은 $y=\frac{1}{2x^2}$ 을 둘째 식에 대입하면 $4-4x^3=0$ 이고, 이로부터 $x=1$ , $y=\tfrac{1}{2}$ 이다. $x=1$ , $y=\tfrac{1}{2}$ 일 때,

$f\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=2+2+2=6$

(b) 이차 도함수는

$f_{xx}(x,y)=\frac{2}{x^3y}\qquad f_{xy}(x,y)=\frac{1}{x^2y^2}\qquad f_{yy}(x,y)=\frac{2}{xy^3}$

특히

$f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4\qquad f_{xy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4\qquad f_{yy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=16$

$f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)f_{yy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)- f_{xy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)^2=4\times 16-4^2=48>0$ 이고 $f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4>0$ 이므로 점 $\big(1,\tfrac{1}{2}\big)$ 은 극소이다.

(c) $x$ 또는 $y$ 가 무한대로 갈 때(다른 변수는 0 이상일 때), $2x+4y$ 는 $+\infty$ 로 발산한다. $(x,y)$ 가 $x$ 축과 $y$ 축 중 제1사분면에 속하는 부분의 어떤 점으로 가까워져도 $\frac{1}{xy}$ 는 $+\infty$ 로 발산한다. 따라서 $x$ 또는 $y$ 가 제1사분면의 경계(무한대도 경계에 포함한다)로 가까워지면 $f(x,y)$ 는 $+\infty$ 로 발산한다. 그러므로 $\big(1,\tfrac{1}{2}\big)$ 은 제1사분면에서 $f$ 의 극솟값일 뿐만 아니라 최솟값을 갖는 점이다. 따라서 모든 $x,y>0$ 에 대해 $f(x,y)\ge f\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=6$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For $x,y>0$ ,

$\begin{aligned} f_x&=2-\frac{1}{x^2y}=0\iff y=\frac{1}{2x^2}\\ f_y&=4-\frac{1}{xy^2}=0 \end{aligned}$

Substituting $y=\frac{1}{2x^2}$ , from the first equation, into the second gives $4-4x^3=0$ which forces $x=1$ , $y=\tfrac{1}{2}$ . At $x=1$ , $y=\tfrac{1}{2}$ ,

$f\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=2+2+2=6$

(b) The second derivatives are

$f_{xx}(x,y)=\frac{2}{x^3y}\qquad f_{xy}(x,y)=\frac{1}{x^2y^2}\qquad f_{yy}(x,y)=\frac{2}{xy^3}$

In particular

$f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4\qquad f_{xy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4\qquad f_{yy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=16$

Since $f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)f_{yy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)- f_{xy}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)^2=4\times 16-4^2=48>0$ and $f_{xx}\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=4>0$ , the point $\big(1,\tfrac{1}{2}\big)$ is a local minimum.

(c) As $x$ or $y$ tends to infinity (with the other at least zero), $2x+4y$ tends to $+\infty$ . As $(x,y)$ tends to any point on the first quadrant part of the $x$ - and $y$ –axes, $\frac{1}{xy}$ tends to $+\infty$ . Hence as $x$ or $y$ tends to the boundary of the first quadrant (counting infinity as part of the boundary), $f(x,y)$ tends to $+\infty$ . As a result $\big(1,\tfrac{1}{2}\big)$ is a global (and not just local) minimum for $f$ in the first quadrant. Hence $f(x,y)\ge f\big(1,\tfrac{1}{2}\big)=6$ for all $x,y>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 22번

# 극값과 안장점증명·논술도전자동 분류

31.CLP-3 · 2.10절 · 30번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가진다고 하자. 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극솟값과 극댓값을 구하는 문제를 생각하자.

$g(x,y) = xy -1$ 로 정의한다. 라그랑주 승수법에 따르면, $(x,y)$ 가 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극소 또는 극대이면 다음을 만족하는 실수 $\lambda$ 가 존재한다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이고 $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 이다. $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 로 정의한다. $x\ne 0$ 에서 $F(x)$ 가 극소 또는 극대이면 다음이 성립한다.

$F'(x)=0 \tag{E2}$

다음의 의미에서 (E1)과 (E2)가 동치임을 보이세요.

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다}\\ &\text{필요충분조건은}\\ &\text{$x\ne 0$ 이 (E2)를 만족하고 $y={1}/{x}$ 인 것이다.} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)$ have continuous partial derivatives. Consider the problem of finding local minima and maxima of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ .

Define $g(x,y) = xy -1$ . According to the method of Lagrange multipliers, if $(x,y)$ is a local minimum or maximum of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ , then there is a real number $\lambda$ such that

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

On the curve $xy=1$ , we have $y=\frac{1}{x}$ and $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . Define $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . If $x\ne 0$ is a local minimum or maximum of $F(x)$ , we have that

$F'(x)=0 \tag{E2}$

Show that (E1) is equivalent to (E2), in the sense that

$\begin{aligned} &\text{there is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)}\\ &\text{if and only if}\\ &\text{$x\ne 0$ obeys (E2) and $y={1}/{x}$.} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

$(x,y)$ 가 $g(x,y)=xy-1=0$ 을 만족하면 $x$ 는 반드시 $0$ 이 아님에 유의한다. 따라서 $x\ne 0$ 이라고 가정해도 된다. 그러면

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다} \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that if $(x,y)$ obeys $g(x,y)=xy-1=0$ , then $x$ is necessarily nonzero. So we may assume that $x\ne 0$ . Then

$\begin{aligned} &\text{There is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)} \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 18번

# 라그랑주 승수법증명·논술도전자동 분류

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