매개변수와 극좌표 전체 연습문제

121.APEX · 9.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서, 주어진 조건으로 정의되는 포물선의 방정식을 구하세요. 포물선의 그래프를 그리세요.

꼭짓점: $(2,3)$ ; 준선: $x=4$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, find the equation of the parabola defined by the given information. Sketch the parabola.

Vertex: $(2,3)$ ; directrix: $x=4$

정답·풀이 보기

$x=-\frac18(y-3)^2+2$

원본 교재 풀이(영어)

$x=-\frac18(y-3)^2+2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 7번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

122.APEX · 9.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

17–18번 문제에서, 주어진 방정식으로 정의되는 타원의 그래프를 그리세요. 중심, 초점, 꼭짓점을 나타내세요.

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-2)^2}{5}=1$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, sketch the ellipse defined by the given equation. Label the center, foci and vertices.

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-2)^2}{5}=1$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 9번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

123.APEX · 9.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

17–18번 문제에서, 주어진 방정식으로 정의되는 타원의 그래프를 그리세요. 중심, 초점, 꼭짓점을 나타내세요.

$\displaystyle \frac{1}{25}x^2+\frac{1}{9}(y+3)^2=1$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, sketch the ellipse defined by the given equation. Label the center, foci and vertices.

$\displaystyle \frac{1}{25}x^2+\frac{1}{9}(y+3)^2=1$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 5번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

124.APEX · 9.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 그래프에 나타난 타원의 방정식을 구하세요. 타원의 초점의 위치와 이심률을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, find the equation of the ellipse shown in the graph. Give the location of the foci and the eccentricity of the ellipse.

정답·풀이 보기

$\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$ ; 초점: $(-1\pm\sqrt{5},2)$ ; $e=\sqrt{5}/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$ ; foci at $(-1\pm\sqrt{5},2)$ ; $e=\sqrt{5}/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 11번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

125.APEX · 9.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 그래프에 나타난 타원의 방정식을 구하세요. 타원의 초점의 위치와 이심률을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, find the equation of the ellipse shown in the graph. Give the location of the foci and the eccentricity of the ellipse.

정답·풀이 보기

$\frac{(x-1)^2}{1/4}+\frac{y^2}{9}=1$ ; 초점: $(1,\pm \sqrt{8.75})$ ; $e=\sqrt{8.75}/3\approx 0.99$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-1)^2}{1/4}+\frac{y^2}{9}=1$ ; foci at $(1,\pm \sqrt{8.75})$ ; $e=\sqrt{8.75}/3\approx 0.99$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 5번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

126.APEX · 9.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 조건으로 정해지는 타원의 방정식을 구하세요. 타원을 그리세요.

초점: $(\pm 2,0)$ ; 꼭짓점: $(\pm 3,0)$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find the equation of the ellipse defined by the given information. Sketch the elllipse.

Foci: $(\pm 2,0)$ ; vertices: $(\pm 3,0)$

정답·풀이 보기

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 3번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

127.APEX · 9.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 조건으로 정해지는 타원의 방정식을 구하세요. 타원을 그리세요.

초점: $(-1,3)$ 과 $(5,3)$ ; 꼭짓점: $(-3,3)$ 과 $(7,3)$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find the equation of the ellipse defined by the given information. Sketch the elllipse.

Foci: $(-1,3)$ and $(5,3)$ ; vertices: $(-3,3)$ and $(7,3)$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{16}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{16}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 33번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

128.APEX · 9.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 조건으로 정해지는 타원의 방정식을 구하세요. 타원을 그리세요.

초점: $(2,\pm 2)$ ; 꼭짓점: $(2,\pm 7)$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find the equation of the ellipse defined by the given information. Sketch the elllipse.

Foci: $(2,\pm 2)$ ; vertices: $(2,\pm 7)$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-2)^2}{45}+\frac{y^2}{49}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-2)^2}{45}+\frac{y^2}{49}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 13번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

129.APEX · 9.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 조건으로 정의되는 타원의 방정식을 구하세요. 타원을 그리세요.

초점: $(-1,5)$ ; 꼭짓점: $(-1,-4)$ ; 중심: $(-1,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find the equation of the ellipse defined by the given information. Sketch the elllipse.

Focus: $(-1,5)$ ; vertex: $(-1,-4)$ ; center: $(-1,1)$

정답·풀이 보기

$\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 63번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

130.APEX · 9.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32에서, 그래프에 나타난 쌍곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, find the equation of the hyperbola shown in the graph.

정답·풀이 보기

$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 65번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

131.APEX · 9.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32에서, 그래프에 나타난 쌍곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, find the equation of the hyperbola shown in the graph.

정답·풀이 보기

$y^2-\frac{x^2}{24}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$y^2-\frac{x^2}{24}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 6번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

132.APEX · 9.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32에서, 그래프에 나타난 쌍곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, find the equation of the hyperbola shown in the graph.

정답·풀이 보기

$\frac{(y-3)^2}{4}-\frac{(x-1)^2}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(y-3)^2}{4}-\frac{(x-1)^2}{9}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 1번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

133.APEX · 9.1절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32에서, 그래프에 나타난 쌍곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, find the equation of the hyperbola shown in the graph.

정답·풀이 보기

$\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{4}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{4}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 13번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

134.APEX · 9.1절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–34에서, 주어진 방정식으로 정의된 쌍곡선의 그래프를 그리세요. 중심과 초점을 표시하세요.

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1$

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, sketch the hyperbola defined by the given equation. Label the center and foci.

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 63번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

135.APEX · 9.1절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–34번에서 주어진 방정식으로 정의되는 쌍곡선의 그래프를 그리세요. 중심과 초점을 표시하세요.

$\displaystyle (y-4)^2-\frac{(x+1)^2}{25}=1$

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, sketch the hyperbola defined by the given equation. Label the center and foci.

$\displaystyle (y-4)^2-\frac{(x+1)^2}{25}=1$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 3번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

136.APEX · 9.1절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(\pm 3,0)$ ; 꼭짓점: $(\pm 2, 0)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(\pm 3,0)$ ; vertices: $(\pm 2, 0)$

정답·풀이 보기

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 33번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

137.APEX · 9.1절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(0,\pm 3)$ ; 꼭짓점: $(0,\pm 2)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(0,\pm 3)$ ; vertices: $(0,\pm 2)$

정답·풀이 보기

$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 57번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

138.APEX · 9.1절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(-2,3)$ 과 $(8,3)$ ; 꼭짓점: $(-1,3)$ 과 $(7,3)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(-2,3)$ and $(8,3)$ ; vertices: $(-1,3)$ and $(7,3)$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-3)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-3)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 45번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

139.APEX · 9.1절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(3,-2)$ 와 $(3,8)$ ; 꼭짓점: $(3,0)$ 과 $(3,6)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(3,-2)$ and $(3,8)$ ; vertices: $(3,0)$ and $(3,6)$

정답·풀이 보기

$\frac{(y-3)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{16}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(y-3)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{16}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 9번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

140.APEX · 9.1절 · 44번대학 수준우리말 번역

요하네스 케플러는 태양계 행성들이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 가진다는 것을 발견했다. 지구의 타원 궤도는 거리의 표준 단위로 쓰인다. 지구의 타원 궤도의 중심에서 한 꼭짓점까지의 거리가 1 천문단위, 즉 1 A.U. 이다.

다음 표는 세 행성의 궤도에 관한 정보를 나타낸 것이다.

$\begin{array}{ccc} & \text{중심에서 꼭짓점까지의 거리} & \text{이심률} \\ \hline \text{수성} & \text{0.387 A.U.} & \text{0.2056} \\ \text{지구} & \text{1 A.U.} & \text{0.0167} \\ \text{화성} & \text{1.524 A.U.} & \text{0.0934}\end{array}$

(a) 타원에서 $c^2=a^2-b^2$ 이고 $e=c/a$ 임을 알면 $b$ 를 $a$ 와 $e$ 로 나타낼 수 있다. $b=a\sqrt{1-e^2}$ 임을 보이세요. (b) 각 행성에 대해 타원 궤도의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 꼴로 구하세요. (이 꼴은 중심을 $(0,0)$ 에 놓은 것이지만, 태양의 위치는 행성마다 다르다.) (c) 태양이 원점에 오도록 방정식을 평행이동하세요. 세 타원 궤도의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Johannes Kepler discovered that the planets of our solar system have elliptical orbits with the Sun at one focus. The Earth's elliptical orbit is used as a standard unit of distance; the distance from the center of Earth's elliptical orbit to one vertex is 1 Astronomical Unit, or A.U.

The following table gives information about the orbits of three planets.

$\begin{array}{ccc} & \text{Distance from center to vertex} & \text{eccentricity} \\ \hline \text{Mercury} & \text{0.387 A.U.} & \text{0.2056} \\ \text{Earth} & \text{1 A.U.} & \text{0.0167} \\ \text{Mars} & \text{1.524 A.U.} & \text{0.0934}\end{array}$

(a) In an ellipse, knowing $c^2=a^2-b^2$ and $e=c/a$ allows us to find $b$ in terms of $a$ and $e$ . Show $b=a\sqrt{1-e^2}$ . (b) For each planet, find equations of their elliptical orbit of the form $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . (This places the center at $(0,0)$ , but the Sun is in a different location for each planet.) (c) Shift the equations so that the Sun lies at the origin. Plot the three elliptical orbits.

정답·풀이 보기

(a) $e=c/a$ 를 $c$ 에 대해 풀면 $c=ae$ 이다. 따라서 $a^2e^2=a^2-b^2$ 이고, $b^2=a^2-a^2e^2$ 이다. 이로부터 결과를 얻는다. (b) 수성: $x^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

지구: $x^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

화성: $x^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$ (c) 수성: $(x-0.08)^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

지구: $(x-0.0167)^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

화성: $(x-0.1423)^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Solve for $c$ in $e=c/a$ : $c=ae$ . Thus $a^2e^2=a^2-b^2$ , and $b^2=a^2-a^2e^2$ . The result follows. (b) Mercury: $x^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

Earth: $x^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

Mars: $x^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$ (c) Mercury: $(x-0.08)^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

Earth: $(x-0.0167)^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

Mars: $(x-0.1423)^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 6번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

매개변수와 극좌표 전체 문제