매개변수와 극좌표 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

점 $\left(4,\frac{5\pi }{6}\right)$ 의 직교좌표는 $\left(2\sqrt{3},-2\right)$ 이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The rectangular coordinates of the point $\left(4,\frac{5\pi }{6}\right)$ are $\left(2\sqrt{3},-2\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 30번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

2.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

방정식 $x=\cosh (3t),$ $y=2\,\sinh (3t)$ 는 쌍곡선을 나타낸다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The equations $x=\cosh (3t),$ $y=2\,\sinh (3t)$ represent a hyperbola.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 38번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

3.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

$x=f(t)$ 와 $y=g(t)$ 가 주어질 때, $\frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dx}$ 이면 $f(t)=g(t)+\text{C,}$ 이다. 여기서 C는 상수이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

Given $x=f(t)$ and $y=g(t),$ if $\frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dx},$ then $f(t)=g(t)+\text{C,}$ where C is a constant.

정답·풀이 보기

거짓. $y=t+1,$ $x=-t+1$ 이라고 해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. Imagine $y=t+1,$ $x=-t+1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

4.APEX · 9.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

퇴화한 원뿔곡선과 퇴화하지 않은 원뿔곡선의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between degenerate and nondegenerate conics?

정답·풀이 보기

원뿔곡선을 평면과 쌍원뿔의 교선으로 정의할 때, 평면이 원뿔의 꼭짓점(보통 원점으로 잡는다)을 지나면 퇴화한 원뿔곡선이 만들어진다. 이 평면이 원점을 포함하지 않으면 퇴화하지 않은 원뿔곡선이 만들어진다.

원본 교재 풀이(영어)

When defining the conics as the intersections of a plane and a double napped cone, degenerate conics are created when the plane intersects the tips of the cones (usually taken as the origin). Nondegenerate conics are formed when this plane does not contain the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 67번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

5.APEX · 9.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

타원의 이심률이 무엇을 나타내는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to explain what the eccentricity of an ellipse measures.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 1번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

6.APEX · 9.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

타원과 쌍곡선 중 이심률이 더 큰 것은 무엇인가요?

영어 원문 보기

What has the largest eccentricity: an ellipse or a hyperbola?

정답·풀이 보기

쌍곡선

원본 교재 풀이(영어)

Hyperbola

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 2번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

7.APEX · 9.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음이 참인 이유를 설명하세요: "표준형으로 나타낸 타원의 방정식에서 $x^2$ 항의 계수가 $y^2$ 항의 계수보다 작으면, 그 타원의 장축은 가로 방향이다."

영어 원문 보기

Explain why the following is true: “If the coefficient of the $x^2$ term in the equation of an ellipse in standard form is smaller than the coefficient of the $y^2$ term, then the ellipse has a horizontal major axis.”

정답·풀이 보기

방정식 $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 에서 $a>b$ 이면 타원의 장축은 가로 방향이다. 그런데 $x^2$ 항의 계수는 $a^2$ 이 아니라 $1/a^2$ 이므로, $1/a^2<1/b^2$ 이면 $a>b$ 이고 장축은 가로 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

With the equation $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ , the ellipse has a horizontal major axis if $a>b$ . But the coefficient of the $x^2$ term is $1/a^2$ (not $a^2$ ), so if $1/a^2<1/b^2$ , then $a>b$ and the major axis is horizontal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 5번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

8.APEX · 9.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

표준형으로 나타낸 쌍곡선의 방정식을 보고 주축이 가로 방향인지 세로 방향인지 빠르게 판단하는 방법을 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how one can quickly look at the equation of a hyperbola in standard form and determine whether the transverse axis is horizontal or vertical.

정답·풀이 보기

주축이 가로 방향이면 $x^2$ 항의 계수가 양수이고, 주축이 세로 방향이면 $y^2$ 항의 계수가 양수이다.

원본 교재 풀이(영어)

With a horizontal transverse axis, the $x^2$ term has a positive coefficient; with a vertical transverse axis, the $y^2$ term has a positive coefficient.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 5번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

9.APEX · 9.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 타원과 쌍곡선은 같은 반사 성질을 가진다고 말할 수 있다. "한 초점에서 나온 광선은 원뿔곡선에서 반사되어 다른 초점을 지나는 _____ 을(를) 따라 나아간다."

영어 원문 보기

Fill in the blank: It can be said that ellipses and hyperbolas share the same reflective property: “A ray emanating from one focus will reflect off the conic along a _____ that contains the other focus.”

정답·풀이 보기

직선

원본 교재 풀이(영어)

line

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 4번

# 이차곡선개념 확인자동 분류

10.APEX · 9.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 매개변수 방정식의 그래프를 그릴 때, $x$ 값과 $y$ 값을 따로 구한 다음 함께 점으로 찍는다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching the graph of parametric equations, the $x$ and $y$ values are found separately, then plotted together.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 3번

# 매개변수 방정식과 곡선개념 확인자동 분류

11.APEX · 9.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

그래프가 "움직이는" 방향을 그래프의 _____ (이)라 한다.

영어 원문 보기

The direction in which a graph is “moving” is called the _____ of the graph.

정답·풀이 보기

방향

원본 교재 풀이(영어)

orientation

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 4번

# 매개변수 방정식과 곡선개념 확인자동 분류

12.APEX · 9.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

$y=f(x)$ 로 나타낸 식은 _____ 형식으로 쓴 것이다.

영어 원문 보기

An equation written as $y=f(x)$ is written in _____ form.

정답·풀이 보기

직교좌표(직교형)

원본 교재 풀이(영어)

rectangular

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 2번

# 매개변수 방정식과 곡선개념 확인자동 분류

13.APEX · 9.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

매개변수 방정식 $x=f(t)$ , $y=g(t)$ 를 만들고 그 그래프를 그리세요. 함수 $f$ 와 $g$ 를 바탕으로 그래프의 흥미로운 특징을 설명하세요.

영어 원문 보기

Create parametric equations $x=f(t)$ , $y=g(t)$ and sketch their graph. Explain any interesting features of your graph based on the functions $f$ and $g$ .