매개변수와 극좌표 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 7.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 매개변수방정식 쌍은 직선, 포물선, 원, 타원 또는 쌍곡선을 나타냅니다. 각 방정식 쌍이 나타내는 기본 곡선의 종류를 답하세요.

$\begin{array}{c}x=h+r\,\cos \,\theta \\ y=k+r\,\sin \,\theta \end{array}$ 이 원의 방정식을 나타냄을 보이세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, the pairs of parametric equations represent lines, parabolas, circles, ellipses, or hyperbolas. Name the type of basic curve that each pair of equations represents.

Show that $\begin{array}{c}x=h+r\,\cos \,\theta \\ y=k+r\,\sin \,\theta \end{array}$ represents the equation of a circle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 57번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

2.OpenStax 2권 · 7.2절 · 56번대학 수준우리말 번역

타원 $x=4\,\sin \,\theta ,y=3\,\cos \,\theta$ 의 전체 길이가 $L=16{\int }_{0}^{\pi /2}\sqrt{1-{e}^{2}{\sin }^{2}\theta }\,d\theta$ 임을 보이세요. 여기서 $e=\frac{c}{a}$ 이고 $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$ 이다.

영어 원문 보기

Show that the total length of the ellipse $x=4\,\sin \,\theta ,y=3\,\cos \,\theta$ is $L=16{\int }_{0}^{\pi /2}\sqrt{1-{e}^{2}{\sin }^{2}\theta }\,d\theta ,$ where $e=\frac{c}{a}$ and $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 38번

# 매개변수 곡선의 미적분증명·논술자동 분류

3.OpenStax 2권 · 7.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 기하학에서 익히 아는 공식을 이용하여 곡선의 길이를 구한 다음, 정적분을 이용하여 확인하세요.

$y=r\,\sin \,\theta =f(\theta )\sin \,\theta$ 이면 $\frac{dy}{d\theta }=f'(\theta )\sin \,\theta +f(\theta )\cos \,\theta$ . 임을 확인하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the familiar formula from geometry to find the length of the curve and then confirm using the definite integral.

Verify that if $y=r\,\sin \,\theta =f(\theta )\sin \,\theta$ then $\frac{dy}{d\theta }=f'(\theta )\sin \,\theta +f(\theta )\cos \,\theta .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 4번

# 극좌표에서의 넓이와 길이증명·논술자동 분류

4.OpenStax 2권 · 7.4절 · 67번대학 수준우리말 번역

곡선 $r=\sin \,\theta \,\tan \,\theta$ (디오클레스의 시소이드라고 한다)가 직선 $x=1$ 을 수직 점근선으로 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the curve $r=\sin \,\theta \,\tan \,\theta$ (called a cissoid of Diocles) has the line $x=1$ as a vertical asymptote.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 38번

# 극좌표에서의 넓이와 길이증명·논술자동 분류

5.APEX · 9.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

15–16번 문제에서, 포물선의 방정식과 그 그래프 위의 한 점이 주어져 있습니다. 포물선의 초점과 준선을 구하고, 주어진 점이 초점과 준선으로부터 같은 거리에 있음을 확인하세요.

$y=\frac14x^2$ , $P=(2,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, the equation of a parabola and a point on its graph are given. Find the focus and directrix of the parabola, and verify that the given point is equidistant from the focus and directrix.

$y=\frac14x^2$ , $P=(2,1)$

정답·풀이 보기

초점: $(0,1)$ ; 준선: $y=-1$ . 점 $P$ 는 초점과 준선에서 각각 2만큼 떨어져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

focus: $(0,1)$ ; directrix: $y=-1$ . The point $P$ is 2 units from each.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 37번

# 이차곡선증명·논술자동 분류

6.APEX · 9.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

15–16번 문제에서, 포물선의 방정식과 그 그래프 위의 한 점이 주어져 있습니다. 포물선의 초점과 준선을 구하고, 주어진 점이 초점과 준선으로부터 같은 거리에 있음을 확인하세요.

$x=\frac18(y-2)^2+3$ , $P=(11,10)$

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, the equation of a parabola and a point on its graph are given. Find the focus and directrix of the parabola, and verify that the given point is equidistant from the focus and directrix.

$x=\frac18(y-2)^2+3$ , $P=(11,10)$

정답·풀이 보기

초점: $(5,2)$ ; 준선: $x=1$ . 점 $P$ 는 초점과 준선에서 각각 10만큼 떨어져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

focus: $(5,2)$ ; directrix: $x=1$ . The point $P$ is 10 units from each.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 21번

# 이차곡선증명·논술자동 분류

7.APEX · 9.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

타원 $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{12}=1$ 을 생각하세요.

(a) 초점이 $(1,3\pm 2\sqrt{2})$ 에 있음을 보이세요. (b) 점 $P_1 = (2,6)$ 과 $P_2 = (1+\sqrt{2},3+\sqrt{6}) \approx (2.414,5.449)$ 는 이 타원 위에 있습니다. 각 점에서 두 초점까지의 거리의 합이 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the ellipse given by $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{12}=1$ .

(a) Verify that the foci are located at $(1,3\pm 2\sqrt{2})$ . (b) The points $P_1 = (2,6)$ and $P_2 = (1+\sqrt{2},3+\sqrt{6}) \approx (2.414,5.449)$ lie on the ellipse. Verify that the sum of distances from each point to the foci is the same.

정답·풀이 보기

(a) $c=\sqrt{12-4} = 2\sqrt{2}$ 이다. (b) 각 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 $2\sqrt{12}\approx 6.9282$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $c=\sqrt{12-4} = 2\sqrt{2}$ . (b) The sum of distances for each point is $2\sqrt{12}\approx 6.9282$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 3번

# 이차곡선증명·논술자동 분류

8.APEX · 9.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=3x^2-11x+2$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=3x^2-11x+2$

정답·풀이 보기

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=2$ , $y=-8$ 이다.

$y'=6x-11$ 이고, $x=2$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ . At $t=1$ , $x=2$ , $y=-8$ .

$y'=6x-11$ ; when $x=2$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

9.APEX · 9.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=e^x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=e^x$

정답·풀이 보기

$x=\ln t$ , $y=t$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=1$ 이다.

$y'=e^x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\ln t$ , $y=t$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=1$ .

$y'=e^x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 51번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

10.APEX · 9.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\pi]$ 에서 $y=\sin x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=\sin x$ on $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=0$ 이다.

$y'=\cos x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=0$ .

$y'=\cos x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 15번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

11.APEX · 9.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\infty)$ 에서 $y=\sqrt{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=\sqrt{x}$ on $[0,\infty)$

정답·풀이 보기

$x=1/(4t^2)$ , $y=1/(2t)$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=1/4$ , $y=1/2$ 이다.

$y'=1/(2\sqrt{x})$ 이고, $x=1/4$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=1/(4t^2)$ , $y=1/(2t)$ . At $t=1$ , $x=1/4$ , $y=1/2$ .

$y'=1/(2\sqrt{x})$ ; when $x=1/4$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 37번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

매개변수와 극좌표 전체 문제