문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

이차곡선

포물선·타원·쌍곡선의 방정식과 초점, 극좌표 표현을 다룬다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

111문제 · 6 / 6쪽

101.APEX · 9.1절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–34번에서 주어진 방정식으로 정의되는 쌍곡선의 그래프를 그리세요. 중심과 초점을 표시하세요.

$\displaystyle (y-4)^2-\frac{(x+1)^2}{25}=1$

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, sketch the hyperbola defined by the given equation. Label the center and foci.

$\displaystyle (y-4)^2-\frac{(x+1)^2}{25}=1$

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 3번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

102.APEX · 9.1절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(\pm 3,0)$ ; 꼭짓점: $(\pm 2, 0)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(\pm 3,0)$ ; vertices: $(\pm 2, 0)$

정답·풀이 보기

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 33번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

103.APEX · 9.1절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(0,\pm 3)$ ; 꼭짓점: $(0,\pm 2)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(0,\pm 3)$ ; vertices: $(0,\pm 2)$

정답·풀이 보기

$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 57번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

104.APEX · 9.1절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(-2,3)$ 과 $(8,3)$ ; 꼭짓점: $(-1,3)$ 과 $(7,3)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(-2,3)$ and $(8,3)$ ; vertices: $(-1,3)$ and $(7,3)$

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$\frac{(x-3)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-3)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 45번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

105.APEX · 9.1절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38번에서 주어진 조건으로 정의되는 쌍곡선의 방정식을 구하세요. 쌍곡선의 그래프를 그리세요.

초점: $(3,-2)$ 와 $(3,8)$ ; 꼭짓점: $(3,0)$ 과 $(3,6)$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find the equation of the hyperbola defined by the given information. Sketch the hyperbola.

Foci: $(3,-2)$ and $(3,8)$ ; vertices: $(3,0)$ and $(3,6)$

정답·풀이 보기

$\frac{(y-3)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{16}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(y-3)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{16}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 9번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류

106.APEX · 9.1절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 쌍곡선의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

$3x^2-4y^2=12$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, write the equation of the hyperbola in standard form.

$3x^2-4y^2=12$

정답·풀이 보기

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 5번

# 이차곡선계산자동 분류

107.APEX · 9.1절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 쌍곡선의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

$3x^2-y^2+2y=10$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, write the equation of the hyperbola in standard form.

$3x^2-y^2+2y=10$

정답·풀이 보기

$\frac{x^2}{3}-\frac{(y-1)^2}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x^2}{3}-\frac{(y-1)^2}{9}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 44번

# 이차곡선계산자동 분류

108.APEX · 9.1절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 쌍곡선의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

$x^2-10y^2+40y=30$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, write the equation of the hyperbola in standard form.

$x^2-10y^2+40y=30$

정답·풀이 보기

$(y-2)^2-\frac{x^2}{10}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$(y-2)^2-\frac{x^2}{10}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 19번

# 이차곡선계산자동 분류

109.APEX · 9.1절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서 쌍곡선의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

$(4y-x)(4y+x)=4$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, write the equation of the hyperbola in standard form.

$(4y-x)(4y+x)=4$

정답·풀이 보기

$4y^2-\frac{x^2}{4}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$4y^2-\frac{x^2}{4}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.5절 · 3번

# 이차곡선계산자동 분류

110.APEX · 9.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

타원 $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{12}=1$ 을 생각하세요.

(a) 초점이 $(1,3\pm 2\sqrt{2})$ 에 있음을 보이세요. (b) 점 $P_1 = (2,6)$ 과 $P_2 = (1+\sqrt{2},3+\sqrt{6}) \approx (2.414,5.449)$ 는 이 타원 위에 있습니다. 각 점에서 두 초점까지의 거리의 합이 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the ellipse given by $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{12}=1$ .

(a) Verify that the foci are located at $(1,3\pm 2\sqrt{2})$ . (b) The points $P_1 = (2,6)$ and $P_2 = (1+\sqrt{2},3+\sqrt{6}) \approx (2.414,5.449)$ lie on the ellipse. Verify that the sum of distances from each point to the foci is the same.

정답·풀이 보기

(a) $c=\sqrt{12-4} = 2\sqrt{2}$ 이다. (b) 각 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 $2\sqrt{12}\approx 6.9282$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $c=\sqrt{12-4} = 2\sqrt{2}$ . (b) The sum of distances for each point is $2\sqrt{12}\approx 6.9282$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 3번

# 이차곡선증명·논술자동 분류

111.APEX · 9.1절 · 44번대학 수준우리말 번역

요하네스 케플러는 태양계 행성들이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 가진다는 것을 발견했다. 지구의 타원 궤도는 거리의 표준 단위로 쓰인다. 지구의 타원 궤도의 중심에서 한 꼭짓점까지의 거리가 1 천문단위, 즉 1 A.U. 이다.

다음 표는 세 행성의 궤도에 관한 정보를 나타낸 것이다.

$\begin{array}{ccc} & \text{중심에서 꼭짓점까지의 거리} & \text{이심률} \\ \hline \text{수성} & \text{0.387 A.U.} & \text{0.2056} \\ \text{지구} & \text{1 A.U.} & \text{0.0167} \\ \text{화성} & \text{1.524 A.U.} & \text{0.0934}\end{array}$

(a) 타원에서 $c^2=a^2-b^2$ 이고 $e=c/a$ 임을 알면 $b$ 를 $a$ 와 $e$ 로 나타낼 수 있다. $b=a\sqrt{1-e^2}$ 임을 보이세요. (b) 각 행성에 대해 타원 궤도의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 꼴로 구하세요. (이 꼴은 중심을 $(0,0)$ 에 놓은 것이지만, 태양의 위치는 행성마다 다르다.) (c) 태양이 원점에 오도록 방정식을 평행이동하세요. 세 타원 궤도의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Johannes Kepler discovered that the planets of our solar system have elliptical orbits with the Sun at one focus. The Earth's elliptical orbit is used as a standard unit of distance; the distance from the center of Earth's elliptical orbit to one vertex is 1 Astronomical Unit, or A.U.

The following table gives information about the orbits of three planets.

$\begin{array}{ccc} & \text{Distance from center to vertex} & \text{eccentricity} \\ \hline \text{Mercury} & \text{0.387 A.U.} & \text{0.2056} \\ \text{Earth} & \text{1 A.U.} & \text{0.0167} \\ \text{Mars} & \text{1.524 A.U.} & \text{0.0934}\end{array}$

(a) In an ellipse, knowing $c^2=a^2-b^2$ and $e=c/a$ allows us to find $b$ in terms of $a$ and $e$ . Show $b=a\sqrt{1-e^2}$ . (b) For each planet, find equations of their elliptical orbit of the form $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . (This places the center at $(0,0)$ , but the Sun is in a different location for each planet.) (c) Shift the equations so that the Sun lies at the origin. Plot the three elliptical orbits.

정답·풀이 보기

(a) $e=c/a$ 를 $c$ 에 대해 풀면 $c=ae$ 이다. 따라서 $a^2e^2=a^2-b^2$ 이고, $b^2=a^2-a^2e^2$ 이다. 이로부터 결과를 얻는다. (b) 수성: $x^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

지구: $x^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

화성: $x^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$ (c) 수성: $(x-0.08)^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

지구: $(x-0.0167)^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

화성: $(x-0.1423)^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Solve for $c$ in $e=c/a$ : $c=ae$ . Thus $a^2e^2=a^2-b^2$ , and $b^2=a^2-a^2e^2$ . The result follows. (b) Mercury: $x^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

Earth: $x^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

Mars: $x^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$ (c) Mercury: $(x-0.08)^2/(0.387)^2 + y^2/(0.3787)^2=1$

Earth: $(x-0.0167)^2+y^2/(0.99986)^2 = 1$

Mars: $(x-0.1423)^2/(1.524)^2+y^2/(1.517)^2=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.1절 · 6번

# 이차곡선그래프·표 해석자동 분류