문제 은행 · 미적분 · 선수 과정 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

두 함수를 합성하고, 일대일함수의 역함수와 그 그래프를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 1.4절 · 35번우리말 번역

[계산기 사용] 동맥 중심에서 $x$ cm 떨어진 지점에서 동맥 속 혈액의 속도 V (단위: cm/초)는 $0\le x\le 0.2$ 에서 함수 $V=f(x)=500(0.04-{x}^{2})$ 으로 나타낼 수 있다.

a. $x={f}^{-1}(V)$ 를 구하세요. b. 역함수가 어디에 쓰이는지 설명하세요. c. 속도가 15 cm/초, 10 cm/초, 5 cm/초인 지점이 동맥 중심에서 떨어진 거리를 각각 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The velocity V (in centimeters per second) of blood in an artery at a distance x cm from the center of the artery can be modeled by the function $V=f(x)=500(0.04-{x}^{2})$ for $0\le x\le 0.2.$

a. Find $x={f}^{-1}(V).$ b. Interpret what the inverse function is used for. c. Find the distance from the center of an artery with a velocity of 15 cm/sec, 10 cm/sec, and 5 cm/sec.

정답·풀이 보기

a. $x={f}^{-1}(V)=\sqrt{0.04-\frac{V}{500}}$ b. 역함수는 혈액이 속도 V 로 흐르는 지점이 동맥 중심에서 떨어진 거리를 구해 준다. c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

원본 교재 풀이(영어)

a. $x={f}^{-1}(V)=\sqrt{0.04-\frac{V}{500}}$ b. The inverse function determines the distance from the center of the artery at which blood is flowing with velocity V. c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 27번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 1.4절 · 37번우리말 번역

[계산기 사용] 호수에서 독소를 제거하는 데 드는 비용은 함수

$C(p)=75p/(85-p)$ 로 모델링된다. 여기서 $C$ 는 비용(단위: 천 달러)이고 $p$ 는 작은 호수에 들어 있는 독소의 양(단위: 10억 분율[피피비])이다. 이 모델은 독소의 양이 85 피피비 미만일 때만 유효하다.

a. 호수에서 독소 25 피피비, 40 피피비, 50 피피비를 제거하는 데 드는 비용을 각각 구하세요. b. 역함수를 구하세요. c. b의 결과를 이용하여 $50,000로 제거되는 독소의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The cost to remove a toxin from a lake is modeled by the function

$C(p)=75p/(85-p),$ where $C$ is the cost (in thousands of dollars) and $p$ is the amount of toxin in a small lake (measured in parts per billion [ppb]). This model is valid only when the amount of toxin is less than 85 ppb.

a. Find the cost to remove 25 ppb, 40 ppb, and 50 ppb of the toxin from the lake. b. Find the inverse function. c. Use part b. to determine how much of the toxin is removed for $50,000.

정답·풀이 보기

a. $31,250, $66,667, $107,143 b. $\left(p=\frac{85C}{C+75}\right)$ c. 34 피피비

원본 교재 풀이(영어)

a. $31,250, $66,667, $107,143 b. $\left(p=\frac{85C}{C+75}\right)$ c. 34 ppb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 25번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 1.4절 · 38번우리말 번역

[계산기 사용] 레이싱 카가 다음과 같은 속도로 가속하고 있다.

$v(t)=\frac{25}{4}t+54$ , 여기서 v 는 시각 t 에서의 속도(단위: 피트/초)이다.

a. 10초일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. 역함수를 구하세요. c. b를 이용하여 자동차가 150 ft/sec 의 속력에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A race car is accelerating at a velocity given by

$v(t)=\frac{25}{4}t+54,$ where v is the velocity (in feet per second) at time t.

a. Find the velocity of the car at 10 sec. b. Find the inverse function. c. Use part b. to determine how long it takes for the car to reach a speed of 150 ft/sec.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 33번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 1.4절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 미국 북부 어느 도시의 평균 기온(단위: 섭씨 온도)은 다음 함수로 나타낼 수 있다.

$T(x)=5+18\sin \left[\frac{\pi }{6}(x-4.6)\right]$ , 여기서 $x$ 는 월 단위의 시간이고 $x=1.00$ 은 1월 1일에 해당한다. 평균 기온이 $21^\circ \text{C}$ 인 날(월과 일)을 구하세요. 답의 정수 부분을 월로 하고, 소수 부분으로 그 달의 날짜를 계산하세요.

영어 원문 보기

[T] The average temperature (in degrees Celsius) of a city in the northern United States can be modeled by the function

$T(x)=5+18\sin \left[\frac{\pi }{6}(x-4.6)\right],$ where $x$ is time in months and $x=1.00$ corresponds to January 1. Determine the day(s) (month and day) when the average temperature is $21^\circ \text{C}.$ Use the integer portion of your answer(s) as the month and calculate the day of the month from the decimal portion.

정답·풀이 보기

$x\approx 6.69,8.51$ ; 따라서 해당 기온이 되는 날은 6월 21일과 8월 15일이다

원본 교재 풀이(영어)

$x\approx 6.69,8.51;$ so, the temperature occurs on June 21 and August 15

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 39번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 1.4절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 부두에서 물의 깊이(단위: 피트)는 밀물과 썰물에 따라 변한다. 이는 다음 함수로 나타낼 수 있다.

$D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8$ , 여기서 $t$ 는 자정 이후 경과한 시간(시간 단위)이다. 깊이가 11.75 ft 가 되는 자정 이후 첫 번째 시각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. It is modeled by the function

$D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8,$ where $t$ is the number of hours after midnight. Determine the first time after midnight when the depth is 11.75 ft.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 11번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 1.4절 · 43번우리말 번역

[계산기 사용] 단순 조화 운동을 하는 물체가 다음 함수로 나타내어진다.

$s(t)=-6\cos \left(\frac{\pi t}{2}\right)$ , 여기서 $s$ 는 인치 단위로, $t$ 는 초 단위로 측정한다. 움직인 거리가 4.5 in가 되는 첫 번째 시각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] An object moving in simple harmonic motion is modeled by the function

$s(t)=-6\cos \left(\frac{\pi t}{2}\right),$ where $s$ is measured in inches and $t$ is measured in seconds. Determine the first time when the distance moved is 4.5 in.

정답·풀이 보기

$\sim 1.5\,\sec$

원본 교재 풀이(영어)

$\sim 1.5\,\sec$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 23번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 1.4절 · 44번우리말 번역

[계산기 사용] 어느 지역 미술관에 높이 3 ft인 초상화가 보통 사람의 눈높이보다 2.5 ft 위에 걸려 있다. 시야각 $\theta$ 는 다음 함수로 나타낼 수 있다.

$\theta ={\tan }^{-1}\frac{5.5}{x}-{\tan }^{-1}\frac{2.5}{x}$ , 여기서 $x$ 는 초상화로부터의 거리(피트 단위)이다. 사람이 초상화에서 4 ft 떨어져 있을 때의 시야각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A local art gallery has a portrait 3 ft in height that is hung 2.5 ft above the eye level of an average person. The viewing angle $\theta$ can be modeled by the function

$\theta ={\tan }^{-1}\frac{5.5}{x}-{\tan }^{-1}\frac{2.5}{x},$ where $x$ is the distance (in feet) from the portrait. Find the viewing angle when a person is 4 ft from the portrait.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 1.4절 · 35번

# 합성함수와 역함수활용자동 분류