빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산과 회전

벡터장의 발산(div)과 회전(curl)을 계산하고 뜻을 해석한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 6.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

F:R3→R3\text{F}:{\mathbb{R}}^{3}\to {\mathbb{R}}^{3} 의 좌표함수가 연속인 이계편도함수를 가지면, curl (div(F))\text{curl}\,(\text{div}(\text{F})) 는 0과 같다.

영어 원문 보기

If the coordinate functions of F:R3→R3\text{F}:{\mathbb{R}}^{3}\to {\mathbb{R}}^{3} have continuous second partial derivatives, then curl (div(F))\text{curl}\,(\text{div}(\text{F})) equals zero.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.1절 · 6번
# 발산과 회전활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 6.5절 · 61번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, R3{\mathbb{R}}^{3} 안의 고체가 온도 분포 T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} 을 갖는다고 하세요. 이 물체 안의 열류 벡터장은 F=−k∇T\text{F}=-k\nabla T 이며, 여기서 k>0k>0 은 물질의 성질입니다. 열류 벡터는 기울기의 반대 방향, 즉 온도가 가장 크게 감소하는 방향을 가리킵니다. 열류 벡터의 발산은 ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T 입니다.

열류 벡터장을 계산하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose a solid object in R3{\mathbb{R}}^{3} has a temperature distribution given by T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}. The heat flow vector field in the object is F=−k∇T,\text{F}=-k\nabla T, where k>0k>0 is a property of the material. The heat flow vector points in the direction opposite to that of the gradient, which is the direction of greatest temperature decrease. The divergence of the heat flow vector is ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T.\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T.

Compute the heat flow vector field.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.5절 · 50번
# 발산과 회전활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 6.5절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, R3{\mathbb{R}}^{3} 안의 입체가 T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} 으로 주어지는 온도 분포를 가진다고 하자. 이 물체 안의 열 흐름 벡터장은 F=−k∇T\text{F}=-k\nabla T 이며, 여기서 k>0k>0 은 물질의 성질이다. 열 흐름 벡터는 기울기(그래디언트)와 반대 방향, 즉 온도가 가장 크게 감소하는 방향을 가리킨다. 열 흐름 벡터의 발산은 ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T 이다.

발산을 계산하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose a solid object in R3{\mathbb{R}}^{3} has a temperature distribution given by T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}. The heat flow vector field in the object is F=−k∇T,\text{F}=-k\nabla T, where k>0k>0 is a property of the material. The heat flow vector points in the direction opposite to that of the gradient, which is the direction of greatest temperature decrease. The divergence of the heat flow vector is ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T.\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T.

Compute the divergence.

정답·풀이 보기

∇⋅F=−200k[1+2(x2+y2+z2)]e−x2+y2+z2\nabla \cdot \text{F}=-200k[1+2({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})]{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

∇⋅F=−200k[1+2(x2+y2+z2)]e−x2+y2+z2\nabla \cdot \text{F}=-200k[1+2({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})]{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.5절 · 60번
# 발산과 회전활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)