문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

곡선을 따라 스칼라 함수와 벡터장을 적분한다(일·순환·플럭스)

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 6.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y)=-1\text{j}$ 이고, C는 $y=\frac{1}{2}{x}^{3}-x$ 의 그래프 중 $(2,2)$ 에서 $(-2,-2)$ 까지의 부분입니다.

영어 원문 보기

Evaluate ${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r},$ where $\text{F}(x,y)=-1\text{j},$ and C is the part of the graph of $y=\frac{1}{2}{x}^{3}-x$ from $(2,2)$ to $(-2,-2).$

정답·풀이 보기

${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}=4$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 6.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

힘 $\text{F}(x,y,z)=zy\text{i}+x\text{j}+{z}^{2}x\text{k}$ 가 원점에서 점 (1, 2, 3) 까지 이동하는 입자에 작용합니다. 입자가 다음과 같이 이동할 때 한 일을 계산하세요.

a. 경로 $(0,0,0)\to (1,0,0)\to (1,2,0)\to (1,2,3)$ 을 따라, 각 끝점 쌍을 잇는 선분을 따라 이동할 때; b. 처음 점과 마지막 점을 잇는 직선을 따라 이동할 때. c. 두 경로에서 한 일은 같은가요? 3차원 공간의 곡선과 벡터장이다. 곡선의 선분들은 (1,2,3)에서 (0,0,0)으로, (0,0,0)에서 (1,0,0)으로, (1,0,0)에서 (1,2,0)으로 이어지며, 화살촉은 (0,0,0), (1,0,0), (1,2,0)을 향한다. 주위의 벡터들은 z 성분이 커질수록 더 크다.

영어 원문 보기

Force $\text{F}(x,y,z)=zy\text{i}+x\text{j}+{z}^{2}x\text{k}$ acts on a particle that travels from the origin to point (1, 2, 3). Calculate the work done if the particle travels:

a. along the path $(0,0,0)\to (1,0,0)\to (1,2,0)\to (1,2,3)$ along straight-line segments joining each pair of endpoints; b. along the straight line joining the initial and final points. c. Is the work the same along the two paths? A curve and vector field in three dimensions. The curve segments go from (1,2,3) to (0,0,0) to (1,0,0) to (1,2,0), and the arrowheads point to (0,0,0), (1,0,0), and (1,2,0). The surrounding vectors are larger the more the z component increases.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

a. $W=11;$ b. $W=\frac{39}{4};$ c. No

원본 교재 풀이(영어)

a. $W=11;$ b. $W=\frac{39}{4};$ c. No

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 23번

# 선적분그래프·표 해석자동 분류

3.CLP-4 · 2.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

$P_1$ 과 $P_2$ 를 $\mathbb R^2$ 의 점이라 하자. 아래 그림과 같이 $A$ 와 $B$ 는 $P_1$ 에서 $P_2$ 로 가는 경로이다.

$\mathbf{F}$ 가 $\mathbb R^2$ 에서 보존적 벡터장이고 $\int_A \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=5$ 라 하자. $\int_B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값은 얼마인가요?

영어 원문 보기

Let $P_1$ and $P_2$ be points in $\mathbb R^2$ . Let $A$ and $B$ be paths from $P_1$ to $P_2$ , as shown below.

Suppose $\mathbf{F}$ is a conservative vector field in $\mathbb R^2$ with $\int_A \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=5$ . What is $\int_B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\mathbf{F}$ 는 보존적이고 $A$ 와 $B$ 는 시작점과 끝점이 같으므로, 경로 독립성에 의해 $\int_B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_A \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=5.$

원본 교재 풀이(영어)

Since $\mathbf{F}$ is conservative, and $A$ and $B$ start and end at the same points, by path-independence $\int_B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_A \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=5.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 32번

# 선적분그래프·표 해석기본자동 분류

4.CLP-4 · 7번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F} = P (x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 아래에 그렸습니다.

다음 물음에서 그래프로 가장 잘 뒷받침되는 답을 고르세요.

(a) 점 $A$ 에서의 미분계수 $P_y$ 는 (a) 양수이다, (b) 음수이다, (c) 0이다, (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (b) 점 $A$ 에서의 미분계수 $Q_x$ 는 (a) 양수이다, (b) 음수이다, (c) 0이다, (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (c) 점 $A$ 에서 $\mathbf{F}$ 의 회전(curl)은 (a) $+\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다 (b) $-\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (d) 입자가 곡선 $\mathcal{C}_1$ 을 따라 점 $B$ 에서 점 $C$ 까지 움직일 때 벡터장이 한 일은 (a) 양수이다 (b) 음수이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (e) 입자가 곡선 $\mathcal{C}_2$ 를 따라 점 $B$ 에서 점 $C$ 까지 움직일 때 벡터장이 한 일은 (a) 양수이다 (b) 음수이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (f) 벡터장 $\mathbf{F}$ 는 (a) 어떤 함수 $f$ 의 그래디언트이다 (b) 어떤 벡터장 $\mathbf{G}$ 의 회전이다 (c) 보존적이지 않다 (d) 발산이 0이다.

영어 원문 보기

The vector field $\mathbf{F} = P (x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is plotted below.

In the following questions, give the answer that is best supported by the plot.

(a) The derivative $P_y$ at the point labelled $A$ is (a) positive, (b) negative, (c) zero, (d) there is not enough information to tell. (b) The derivative $Q_x$ at the point labelled $A$ is (a) positive, (b) negative, (c) zero, (d) there is not enough information to tell. (c) The curl of $\mathbf{F}$ at the point labelled $A$ is (a) in the direction of $+\hat{\mathbf{k}}$ (b) in the direction of $-\hat{\mathbf{k}}$ (c) zero (d) there is not enough information to tell. (d) The work done by the vector field on a particle travelling from point $B$ to point $C$ along the curve $\mathcal{C}_1$ is (a) positive (b) negative (c) zero (d) there is not enough information to tell. (e) The work done by the vector field on a particle travelling from point $B$ to point $C$ along the curve $\mathcal{C}_2$ is (a) positive (b) negative (c) zero (d) there is not enough information to tell. (f) The vector field $\mathbf{F}$ is (a) the gradient of some function $f$ (b) the curl of some vector field $\mathbf{G}$ (c) not conservative (d) divergence free.

정답·풀이 보기

(a) $P$ 는 $\mathbf{F}$ 의 $x$ 성분이다. $A$ 를 지나 수직 위쪽으로 움직이면 그 $x$ 성분은 감소한다. 따라서 $A$ 에서 $P_y<0$ 이다.

(b) $Q$ 는 $\mathbf{F}$ 의 $y$ 성분이다. $A$ 를 지나 수평 오른쪽으로 움직이면 그 $y$ 성분은 증가한다. 따라서 $A$ 에서 $Q_x>0$ 이다.

(c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} = (Q_x-P_y)\hat{\mathbf{k}}$ 이고 $A$ 에서 $Q_x-P_y>0$ 이므로, $A$ 에서 $\mathbf{F}$ 의 회전은 $+\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다.

(d) 곡선 $\mathcal{C}_1$ 을 따라 $\mathbf{F}$ 와 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 가 이루는 각의 크기가 $90^\circ$ 보다 작으므로 $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ 이고 $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ 이다.

(e) 곡선 $\mathcal{C}_2$ 를 따라 $\mathbf{F}$ 와 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 가 이루는 각의 크기가 $90^\circ$ 보다 크므로 $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ 이고 $\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ 이다.

(f) $\mathbf{F}$ 가 보존적이라면 $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 이어야 한다. 그런데 이 두 적분은 부호가 반대이므로 $\mathbf{F}$ 는 보존적이지 않다. ( $\mathbf{F}$ 가 보존적이지 않으므로 어떤 함수의 그래디언트가 아니다. $A$ 에서 $P_x>0$ 이고 $Q_y>0$ 이다. 따라서 $\mathbf{F}$ 는 발산이 0이 아니며 벡터 퍼텐셜의 회전도 아니다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) $P$ is the $x$ -component of $\mathbf{F}$ . As we travel vertically upward through $A$ , that $x$ -component decreases. Hence $P_y<0$ at $A$ .

(b) $Q$ is the $y$ -component of $\mathbf{F}$ . As we travel horizontally to the right through $A$ , that $y$ -component increases. Hence $Q_x>0$ at $A$ .

(c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} = (Q_x-P_y)\hat{\mathbf{k}}$ and $Q_x-P_y>0$ at $A$ , so that the curl of $\mathbf{F}$ at $A$ is in the direction of $+\hat{\mathbf{k}}$ .

(d) Along the curve $\mathcal{C}_1$ the magnitude of the angle between $\mathbf{F}$ and $\mathrm{d}\mathbf{r}$ is less than $90^\circ$ , so that $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ and $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ .

(e) Along the curve $\mathcal{C}_2$ the magnitude of the angle between $\mathbf{F}$ and $\mathrm{d}\mathbf{r}$ is greater than $90^\circ$ , so that $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ and $\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ .

(f) If $\mathbf{F}$ were conservative, we would have $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ . As these two integrals have opposite signs $\mathbf{F}$ is not conservative. (Since $\mathbf{F}$ is not conservative, it is not the gradient of some function. At $A$ , $P_x>0$ and $Q_y>0$ . So $\mathbf{F}$ is not divergence free and is not the curl of a vector potential.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 39번

# 선적분그래프·표 해석자동 분류